§ 3. Термодинамическая шкала температур

Тот факт, что кпд цикла Карно зависит только от температур нагревателя и холодильника, позволил Томсону (в последствии лорду Кельвину) использовать цикла Карно для построения температурной шкалы, не зависящей от свойств термометрического тела. Ранее установленная идеально-газовая шкала температур (§ 2 раздел I) не зависит от особенностей идеального газа, который используется в качестве термометрического тела.

Будем проводить измерения температуры нагревателя и холодильника по какой-либо эмпирической температурной шкале (Цельсия, Реомюра или Фаренгейта). По первой теореме Карно кпд цикла Карно является функцией только этих температур, то есть отношение количества теплоты, переданного нагревателем, и количества, отданного холодильнику, тоже является функцией этих температур:

. (5.3.1)

Пусть имеется три тепловых резервуара с температурами , используемые как нагреватели и холодильники, (рис. 5.3.1).

Имеем три цикла Карно: 1234, 4356, 1256. Объединение двух первых циклов эквивалентно третьему. Сумма работ в первых двух циклах, равна работе, совершенной в третьем цикле, как это следует из геометрического смысла работы (рис. 5.3.1).

Запишем для этих трех циклов отношение полученных и отданных теплот.

, (5.3.2)

, (5.3.3)

. (5.3.4)

Отношение двух первых выражений дает

. (5.3.5)

С другой стороны, отношение этих теплот определяется выражением (5.3.4), откуда

(5.3.6)

Выражение (5.3.6) равно отношению :

. (5.3.7)

Последнее выражение справедливо при любых значениях , так как отношение количеств теплоты в левой части не зависит от этой величины. Следовательно, если зафиксировать параметр , то функции в числителе и знаменателе правой части можно рассматривать как функции одного переменного и , соответственно, и

. (5.3.8)

Величина зависит только от температуры и сама может быть принята за меру температуры

, (5.3.9)

где - термодинамическая температура. Тогда выражение для кпд цикла Карно определяется как

(5.3.10)

То есть, определить отношение температур двух тел можно, используя их в качестве нагревателя и холодильника в цикле Карно и измеряя полученное и отданное рабочим телом количества теплоты, поскольку полученное таким образом отношение не зависит от свойств рабочего тела. Так как вид функции зависит от выбора параметра , иными словами от выбора реперной точки, то и значение температуры зависит от этого выбора. В качестве реперной точки выбирается тройная точка воды. Состояние, в котором в динамическом равновесии находятся твердое, жидкое и газообразное состояния. (Более подробно тройные точки рассматриваются при изучении равновесных фазовых переходов). Для воды такое состояние наблюдается при давлении 4,58 мм.рт.ст. Этой точке приписывается температура =273,16 К (точно). Построенная таким образом шкала - термодинамическая шкала температур, еще ее называют шкалой Кельвина.

Термодинамическую температуру любого тела можно вычислить из соотношения (5.3.9), где одна из температур – температура реперной точки. Строго говоря, для этого нужно провести цикл Карно между телом, температуру которого надо измерить и телом, находящимся при температуре тройной точки воды. Такой эксперимент не проводился, но по опосредованным данным в этой шкале температуре таяния льда соответствует значение 273, 15 (примерно), а температуре кипения воды - 373, 15 (примерно).

Так как левая часть выражения (5.3.9) больше нуля, то термодинамическая температура может иметь всегда только один знак. Был выбран знак «плюс», то есть минимальное значение термодинамической температуры – ноль градусов Кельвина. Существованию абсолютного нуля температур шкала обязана еще одним названием - абсолютная термодинамическая температурная шкала.

Из соотношения (5.3.9) следует, что к абсолютному нулю можно приблизиться сколь угодно близко, но достичь невозможно. Действительно, отбирая у тела некоторое количество теплоты, можно уменьшить его температуру только в такое же число раз. Пусть, для определенности, температура за одну операцию уменьшается в два раза. Даже совершая такую операцию бесконечное количество раз, мы будем получать значения, большие нуля.

Установим связь между абсолютной термодинамической и идеально-газовой температурными шкалами. Для этого найдем выражение кпд цикла Карно, где рабочим телом является идеальный газ. При изотермическом расширении 1-2 (рис. 5.3.2) изменение внутренней энергии идеального газа равно нулю, а все сообщаемое количество теплоты идет на совершение работы . Отданное идеальным газом при изотермическом сжатии 3-4 количество теплоты численно равно работе, совершенной в этом процессе над системой . Здесь и - температуры, определенные по идеально-газовой шкале температур.

Таким образом, кпд тепловой машины, работающей по циклу Карно, где рабочим телом является идеальный газ, равен

. (5.3.11)

Воспользуемся уравнением адиабаты идеального газа в параметрах для адиабатных переходов 2-3 и 4-1 соответственно

, (5.3.12)

. (5.3.13)

Почленное деление (5.3.12) на (5.3.13) дает для объемов идеального газа соотношение

. (5.3.14)

И выражение для кпд идеальной машины Карно с рабочим телом – идеальный газ приобретает вид:

. (5.3.15)

Таким образом,

(5.3.16)

Сравнивая выражения (5.3.9) и (5.3.16) можно заключить, что термодинамическая и идеально – газовая температурные шкалы совпадают при одинаковом выборе реперных точек. Величина градуса, таким образом, так же одинакова.