2.1. Кванторные операции

Определим предикат - “число делится на число ”. . Истинность этого высказывания является частичной, так как можно выбрать числа и

2

такие, что не делится на . А предикат - “простое число делится только на самого себя и единицу” является универсально истинным, так является истинным для любого значения x.

В логике предикатов частичная и всеобщая истинность обозначается отдельными специальными знаками – кванторами.

Если задан предикат , то особый интерес представляет рассмотрение следующих двух утверждений:

1. Неопределенное высказывание истинно для всех .

2. Неопределенное высказывание истинно хотя бы для одного элемента , или другими словами, существует элемент множества , для которого - истинно.

Высказывания 1 и 2 в короткой форме будут выглядеть соответственно так:

,

.

Знак общности заменяет в словесных формулировках слова: все, всякий, каждый, любой. Знак существования употребляется вместо слов: хотя бы один, найдется, существует.

Итак, под выражением понимается высказывание, истинное, когда истинно для каждого элемента из множества и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от . Под выражением понимается высказывание, которое является истинным, если существует элемент , для которого истинно, и ложным в противном случае.

3

Таким образом, предикат можно превратить в высказывание двумя способами: подставить конкретное значение в предикат или использовать кванторы всеобщности и существования.

Переменная , входящая в предикат , называется свободной переменной. Переменная , входящая в выражение , называется переменной, связанной квантором всеобщности. А переменная , входящая в выражение - переменная, связанная квантором существования.

Кванторные операции применимы и к многоместным

предикатам. Пусть на множестве задан предикат .

Применение кванторной операции к предикату по переменной ставит в соответствие двуместному предикату одноместный предикат , зависящий от переменной и не зависящей от переменной . К двуместному предикату можно применять кванторы, как по переменной , так и по переменной , при этом возможны следующие варианты: ; ; ; ; ; ; ; .

Правила перестановки кванторов.

Стоящие рядом одноименные кванторы можно переставлять местами. Следовательно, формулы

и

являются общезначимыми.

Разноименные кванторы можно переставлять не всегда.

Справедлива теорема: Для каждой формулы и любых предметных переменных и формула

логически общезначима, а обратная импликация

4

не всегда является логически общезначимой.

2.2. Равносильности логики предикатов

Помимо эквивалентностей логики высказываний для логики предикатов справедливы следующие эквивалентности (, , - предикаты, a - высказывание):

Комбинация кванторов:

1.;

2. ;

3. .

Комбинация кванторов и отрицаний:

;

;

;

.

Расширение области действия кванторов ( не зависит от ):

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Расширение области действия кванторов:

1. ;

5

2.;

3. ;

4. ;

5. /