Наклон нелинейной кривой

 

Теперь перейдем из простого мира линейных связей (прямых линий) в несколько более сложный мир нелинейных связей (кривых), когда наклон кривой изменяется по мере продвижения от одной точки на кривой к другой. Например, рассмотрим восходящую кривую АА на рисунке 3(а). Несмотря на то что ее наклон положителен на всем ее протяжении, мы видим, что он уменьшается, или выравнивается, по мере продвижения по кривой вверх и вправо (в северо-восточном направлении). Поскольку наклон постоянно меняется, мы можем его измерить лишь в какой-то отдельной точке на кривой.

Как это делается? Мы начинаем с проведения прямой линии, которая касается кривой в той точке, где мы хотим измерить ее наклон. По определению, прямая является касательной к кривой в данной точке, если она соприкасается с нею, но не пересекает ее. Так, прямая аа — это касательная кривой АА в точке Р на рисунке 3(а). Проведя указанную прямую, мы можем измерить наклон кривой АА в точке Р, просто измерив наклон прямой линии касания аа. В данном случае на рисунке 3(а) мы видим, что, когда вертикальное изменение (разность ординат) аа составляет +10, горизонтальное изменение (разность абсцисс) также равно +10. Таким образом, наклон касательной аа составляет 10/10, или +1, и следовательно, наклон кривой АА в точке Р также составляет +1.

Теперь рассмотрим нисходящую кривую ВВ на рисунке 3(6). В данном случае мы видим, что наклон ВВ отрицателен и что он уменьшается, или выравнивается, по мере продвижения кривой вниз и вправо (в юго-восточном направлении). Каков наклон в точке Р) Снова проводим линию вв, которая касается кривой ВВ в точке Р. В данном случае мы видим, что, когда вертикальное изменение (снижение) на вв равно —10, горизонтальное изменение составляет лишь + 5. Таким образом, наклон кривой +ВВ в точке Р равняется - 10/+5 или —2. Сюда относится вопрос б в конце данного приложения.

Рисунок 3. Определение наклона кривых

Наклон кривой изменяется по мере продвижения по ней от одной точки к другой. Наклон в любой точке можно определить проведением прямой, касающейся кривой в соответствующей точке, и измерением наклона этой прямой.

 

Резюме приложения

1. Графики служат удобным информативным способом иллюстрации экономических зависимостей или принципов.

2. Между двумя переменными существует положительная, или прямая, зависимость, когда их величины изменяются в одном и том же направлении, изображаются на графике в виде восходящей линии.

3. Между двумя переменными существует отрицательная, или обратная, зависимость, когда их величины изменяются в противоположных направлениях. Эти переменные изображаются на графике в виде нисходящей линии.

4. Величина зависимой переменной ("следствия") определяется величиной независимой переменной ("причиной").

5. Когда учитываются изменения "прочих факторов", которые могут повлиять на связь между двумя переменными, следует ожидать, что изображенная на графике линия связи примет новое положение.

6. Наклон прямой линии представляет собой отношение между вертикальным изменением н горизонтальным изменением, складывающееся по мере передвижения между любыми двумя точками. Наклон восходящей лини является положительным, а нисходящей линии— отрицательным.

7. Точка пересечения с осью ординат (абсцисс) н наклон линии устанавливают положение прямой н используются для изображения связи между двумя переменными в форме уравнения.

8. Наклон кривой в любой точке определяется измерением наклона прямой в месте касания ее с этой точкой.