4.2. Алгебраические критерии устойчивости

4.2.1. Критерий Гурвица

Критерий Гурвица сформулирован и доказан в 1895 году немецким ученым А. Гурвицем. В первоначальное время он использовался для оценки устойчивости систем до пятого порядка из-за трудности расчета определителей Гурвица высокого порядка. Применение ЭВМ позволило устранить этот недостаток. Кроме того, критерий Гурвица позволяет получать аналитические выражения для исследования влияния какого-либо параметра (параметров) на устойчивость системы.

Система устойчива по критерию Гурвица, если при положительности коэффициентов характеристического уравнения а₀, а₁,…, а_п все п определителей Гурвица ₁, ₂,…, _п, составленные по определенной схеме, положительны. Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицательный, то система неустойчива.

Матрица, по которой вычисляются определители Гурвица составляется следующим образом:

1	2	3	…	n-1	n
a1	a3	a5	…	0	0
a0	a2	a4	…	0	0
0	a1	a3	…	0	0
0	a0	a2	…	0	0
…	…	…	…	…	…
0	0	0	…	an-1	0
0	0	0	…	an-2	an

- на главной диагонали записываются все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_п;

- в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записываются коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами;

- на место коэффициентов с индексами больше п или меньше нуля проставляются нули.

Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы:

. (4.6)

4.2.2. Критерий Рауса

Критерий Рауса предложен в 1877 году английским математиком Э.Дж. Раусом. Критерий Рауса широко используется при оценке устойчивости систем высокого порядка, если известны и положительны коэффициенты характеристического уравнения. Этот критерий устойчивости просто реализуется на ЭВМ и можно использовать для выяснения влияния коэффициентов уравнения на устойчивость системы.

Применение критерия Рауса требует составления таблицы, представленной в табл. 4.1:

Таблица 4.1.

Таблица Рауса

Вспомогательные коэффициенты	Номер строки	Номер столбца
		I	II	III	…
-	1	с11=a0	с12=a2	с13=a4	…
-	2	с21=a1	с22=a3	с23=a5	…
r3	3	с31	с32	с33	…
r4	4	с41	с42	с43	…
…	…	…	…	…	…
ri	i	сi1	сi2	сi3	…
…	…	…	…	…	…
rn+1	n+1	сn+1,1	-	-	…

Таблица Рауса строится следующим образом:

- в первую строку записывают четные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а₀;

- во вторую строку записывают нечетные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а₁;

- элементы столбцов, начиная с третьей строки, определяются по выражению:

, (4.7)

где ; k=1,2,3,…; r_i – вспомогательные коэффициенты, определяемые по выражению

, (4.8)

где .

Система устойчива по критерию Рауса, если положительны все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса, включая а₀ и а₁. Если не все коэффициенты положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.

Достоинством критериев Гурвица и Рауса является то, что с их помощью можно оценивать устойчивость как замкнутых, так и разомкнутых систем.