Пример построения математической модели:

Пусть поставлена следующая задача:

Камень с помощью катапульты сброшен со скоростью V₀ под углом α к поверхности земли. Требуется найти расстояние до точки падения камня.

Для построения математической модели используем следующие упрощающие выражения:

1. Камень можно рассмотреть как математическую точку (частицу);

2. Земля является инерциальной системой отсчета;

3. Действием воздуха можно пренебречь;

4. Кривизной земли можно пренебречь;

5. Ускорение свободного падения есть величина постоянная.

При выборе упрощающих предположений необходимо учитывать конкретные особенности решаемой задачи. При других условиях той же задачи некоторые и представленных предположений использовать нельзя.

Перейдем к построению математической модели. Введем систему координат. Ее начало совместим с катапультой, ось х направим горизонтально в сторону движения камня, а ось у вверх. Момент броска примем за начальный момент времени. При сделанных предположениях движение камня определяется II Законом Ньютона, который в данном случае примет вид:

у F = m a

V₀ mg = ma математическая модель

V (0) = V₀ решаемой задачи

α r(0) = 0

x

V_x (0) = V₀cos α V_x(t) = V₀cos α =dx/dt x (t) = V₀cos αt

V_y (0) = V₀sin α V_y(t) = V₀sin α = dy/dt y (t) = V₀sin α-gt²/2

x (0) = 0 x (0) = 0

y (0) = 0 y (0) = 0

Подставив найденное время в формулу, получим решение искомой задачи

Предположим результаты 3-го этапа моделирования неудовлетворительными, и мы приходим к выводу о необходимости уточнения модели, при этом может оказаться, что уточнение модели приведет к возникновению ряда проблем, в результате чего реального улучшения модели может и не произойти. Предположим, что для уточнения модели необходимо учесть силу сопротивления воздуха, для этого мы выдвигаем предположение о том, что сила сопротивления пропорциональна скорости и направлена противоположно движению, т.е. сила сопротивления F_c = -kV, в результате II Закона Ньютона приводим m*dV/dt = m*g-k*V – это уравнение значительно сложнее, чем в предыдущей модели. Решаемую задачу и в этом случае можно получить аналитически, на максимальное расстояние аналитически не возможно найти.

Погрешности численных методов

С помощью математической модели научная или инженерная задача сводится к математической задачи, а для решения математической задачи приходится использовать численные методы, которые сводят к выполнению конечного, но весьма большого числа простейших арифметических действий (сумма, разность, умножение, деление, и т.д.). Численные методы требуют большого объема вычислений, поэтому в ручную эти методы применяются значительно редко, поэтому численные решения производятся с помощью средств вычислительной техники. При численном решении всегда возникают погрешности, возможны грубые ошибки, связанные с неправильно подготовленной задачи, с неверно построенной моделью, с аппаратными сбоями и т.д. Грубые ошибки могут быть устранены при отладки программы. Ели грубые ошибки устранены, сохраняются другие ошибки:

1. Ошибки математической модели;

2. Ошибки в исходных данных;

3. Ошибки численного метода;

4. Ошибки округления.

Ошибки, обусловленные ошибкой математической моделью связаны с неодыкватностью использования модели оригинала. Ошибки искомых данных приводят к ошибочному результату. Первые два типа ошибок относятся к неустранимым погрешностям, т.к. они не могут быть уменьшены в процессе решения математической задачи. Неустранимые ошибки можно уменьшить только за счет уточнения математической модели и более точного задания его параметров. Большинство численных методов сводят математические операции к конечному числу арифметических действий, это ведет к появлению ошибки численного метода.

Например: вычисление интеграла приводит к вычислению интегральной суммы. Как правило, ошибки численного метода регулируемы.

Например: при численном вычислении интеграла точность вычисления можно повысить, увеличив число слагаемых интегральной суммы, а в общем случае путем изменения некоторого параметра. Значения погрешности численного метода и путем ее уменьшения рассматривается при анализе численных методов.

Ошибки округления связаны с огромным числом разрядов в числах, с которыми оперирует ЭВМ. Хотя удельная точность выполнения каждой операции в большинстве случаев высока, малые погрешности имеют тенденцию к накоплению, если общее число операций велико, итоговая погрешность может стать слишком большой. Самый простой путь снижения ошибок этого типа стоит в повышении точности представления чисел на ЭВМ.

Например: в замене типа real на тип double или extended. Однако такой путь не самый лучший. Кроме того, использование чисел большой разрядности приводит к рациональному использованию результатов ресурсов ЭВМ.

Рассмотрим возникновение ошибок округленных на нескольких примерах. Предположим ЭВМ оперирует с четырьмя разрядами цифр, т.е. результат представляет четырьмя значащими цифрами, это значит, что относительная погрешность составляет 0,5*10^-3. Ошибки округления возникают при всех арифметических операциях.

Например: при суммировании относительная погрешность значительно возрастает, при вычитании двух близких по величине чисел.

Для ошибок округления не выполняются обычные правила арифметики.

Например: ошибка суммирования нескольких чисел зависит от порядка суммирования. Меньшая ошибка возникает тогда, когда суммирование начинается с наименьшего числа.

Для уменьшения ошибок округления необходимо придерживаться к следующим правилам:

1. По возможности избегать разности двух близких по величине чисел;

2. Сложение и вычитание в длинной последовательности начинать с наименьшего числа;

3. Использовать выражение а*(b-с), а/(b-с) вместо a*b-a*c, a/b-a/c;

4. В любых случаях сводить к минимуму число арифметических операций.

Еще один тип связан с ограничением представления чисел на ЭВМ, все числа в компьютере по абсолютной величине находятся в интервале (m₀, M), где числа m₀ – машинный нуль, М – машинная бесконечность.