Метод половинного деления

Рассмотрим метод поиска при . Он называется методом половинного деления, так как на каждом шаге отрезок, содержащий оптимальное решение уменьшается в два раза.

Эффективность поиска можно повысить путём специального выбора точек, в которых вычисляется целевая функция на определённом шаге сужения.

Метод 38

Метод золотого сечения

Одним из эффективных способов является метод золотого сечения. Золотым сечением отрезка называется точка для которой выполняется условие

Таких точек две: =0,382+0,618

=0,618+0,382.

Отрезок делится точками и а после находится точка, целевая функция в которой максимальна. В результате чего находится изменённый отрезок длинною 0,618(-) .

Одно значение золотого отрезка для суженного отрезка уже известно, поэтому на каждом последующем шаге требуется вычисление целевой функции только в одной точке (второй точки золотого сечения ).

Метод 39

Метод покоординатного подъёма (спуска)

Перейдём к рассмотрению задачи оптимизации в случае, когда целевая функция зависит от нескольких значений параметров. Простейшим методом поиска является метод покоординатного подъёма (спуска).

Задаётся исходная точка . Затем фиксируются все координаты, кроме первой, в результате получаем целевую функцию, зависящую от одного проектного параметра

.

Для этой функции находится максимальное значение и точка, в которой этот максимум достигается.

Затем фиксируем все координаты, кроме , и получаем целевую функцию, зависящую также только от одного параметра.. Затем находим таким же способом остальные значения, пока не найдём . Это будет означать окончание первого итерационного шага и получение точки . Затем мы повторяем процедуру, пока не достигнем заданной точности.

Метод 40

Метод градиентного подъёма (спуска)

Более эффективен метод градиентного подъёма (спуска).

Нужно выбрать начальную точку и вычисляют значение градиента целевой функции в этой точке. Градиент определяет направление наибыстрейшего возрастания целевой функции из точки . Затем делают небольшой шаг в этом направлении и приходят в точку . В этой точке процедуру повторяют и т.д.

Метод 41

Метод наискорейшего подъёма

Модификацией метода градиентного подъёма является метод наискорейшего подъёма. В этом методе после вычисления градиента в точке движутся в направлении градиента, пока целевая функция продолжает возрастать до точки . В точке процедура повторяется.

Решение задач математического программирования, то есть задач с ограничением обычно более трудоёмко.

Рассмотрим простейшие задачи линейного программирования. В этом случае целевая функция и условия ограничения – линейны. Линейные ограничения на проектные параметры образуют в пространстве проектных параметров многогранник. Оптимальным решением будет соответствовать одна из вершин этого многогранника. Могут быть случаи, когда оптимальному решению соответствуют все точки на ребре или на целой грани многоугольника

Типичными задачами линейного программирования являются транспортная задача и задача об использовании ресурсов.

Тема №10