Метод Эйлера
Простейшим методом решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является метод Эйлера.
Требуется найти
.
Как
зависит от
.
Будем находить
решение в точках
отстоящих друг от друга на расстоянии
h
(шаг задачи). Допустим решение в точке
известно, и требуется найти значение
неизвестной
в точке
.
Разложим решение в окрестности точки
в ряд Тейлора:
В этом ряде ограничимся первыми двумя слагаемыми
В результате получаем простейшую формулу
, которая реализует
метод Эйлера .
,
,
точность
погрешность
на одном шаге.
Таким образом,
погрешность
метода
Эйлера
равна
.
Метод 29
Модифицированный метод Эйлера
Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение,
которое используется
для вычисления приближенного значения
производной в конце интервала
.
Значение производной полагают равным
.
Мы нашли, что в начале интервала значение производной равно
,
а в конце
Для нахождения на интервале удобно использовать среднее значение.
Такое представление
производной тождественно использованию
в ряде Тейлора членов пропорциональных
.
Метод 30
Метод Рунге – Кутта
Это метод, который позволяет учесть в ряде Тейлора члены, содержащие старшие производные.
Для этого при вычислении старших производных используется результаты расчетов в точках внутри интервала. Метод Рунге – Кутта объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Отличаются эти методы порядком точности, т.е. числом слагаемых в ряде Тейлора.
Наиболее
распространенным является метод, при
котором удерживаются члены пропорциональные
(метод
4-го порядка точности) когда говорят
метод Рунге-Кутта, то имеют в виду метод
четвёртого порядка.
Расчеты в этом методе производятся по следующим формулам
Метод 31
Метод Рунге-Кутта для решения систем оду
Метод Рунге – Кутта может применяться для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Например: при решении системы
найдем
В этом случае расчеты производятся по следующим формулам:
Метод 32
Метод Рунге-Кутта для оду высших порядков
Метод Рунге – Кутта можно использовать для решения дифференциальных уравнений высокого порядка (второго или более высокого). Для этого дифференциальное уравнение сводится к системе уравнений первого порядка.
Например: дифференциальное уравнение второго порядка:
Введём переменную
,
в результате решаемая задача приводится
к следующей задаче:
получили
систему двух уравнений первого порядка.
Метод 33
Метод стрельбы
Методы решения задачи Коши могут быть использованы при решении краевых задач. В качестве примера рассмотрим один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка, который называется методом стрельбы.
Решается дифференциальное уравнение второго порядка:
Заменим эту краевую задачу задачей Коши
Задача сводится
к тому, чтобы найти такой угол
,
чтобы в точке
решение равнялось
.
Эта задача зависит
от угла
, как от параметра:
И нужно чтобы
Решение этого
уравнения есть
.
Найдя,
мы тем самым решим задачу как методом
Коши.
Метод 34