Метод Симпсона

В этом методе подъинтегральная функция аппроксимируется квадратичной зависимостью вида:

φ_i(x_i)= a_ix² + b_ix + c.

Для применения метода Симпсона отрезок интегрирования [a,b] разбиваем на четное число 2n частных отрезков с одинаковым шагом

В качестве аппроксимирующей функции берем полином Лагранжа, проходящий через три точки: (x_i-1,y_i-1), (x_i, y_i), (x_i+1, y_i+1), проходит ветвь параболы. Можно показать, что интеграл равен:

S=

В результате симулирования для интеграла получается приближенное выражение:

Погрешность метода Симпсона пропорциональна 0()-и имеет порядок .

Метод 24

Метод Гаусса

В предыдущих методах при численном интегрировании подинтегральную функцию вычисляют в равноотстоящих друг от друга узлах. В методе Гаусса для повышения точности численного интегрирования значения подинтегральной функции вычисляют в специально подобранных узлах.

Рассмотрим сначала стандартный отрезок и зададим число m= числу узлов, в которых вычисляется подинтегральная функция. Координаты этих узлов обозначим

и получим для определённого интеграла приближенное выражение

(1.1)

Узлы подбирают таким образом, чтобы обеспечить максимальную точность выражения (1.1).

Она будет максимальной в том случае, если узлы будут соответствовать корням полиномов Лагранжа.

Метод Гаусса представляет собой группу методов различающихся числом узлов. Значения параметров , для m=2;3 запишем в таблицу.

m	j			№метода
2	1		1	24
	2		1
3	1	0,7745967		25
	2	0
	3	0,7745967

С помощью формулы Гаусса (1.1) с m-узлами на стандартном отрезке можно получить формулу для вычисления интеграла на произвольном отрезке .

Для этого разбиваем отрезок на n равных частичных отрезков. На каждом отрезке

Задаём m узлов с помощью формулы

i – это номер частичного отрезка;

j – это номер узла в каждом частичном отрезке.

Для

Метод 24 даёт точные значения интеграла для полиномов степени , при m=2 метод Симпсона и метод Гаусса имеют приблизительно одинаковую точность. Однако метод Симпсона более удобен, так как для него узлы расположены равномерно, поэтому метод Гаусса целесообразно использовать при m>2.

Метод 26

Метод Монте-Карло

Во многих задачах исходные данные носят случайный характер. Для решения таких задач применяется статистико-вероятностный подход. На основе такого подхода разработан метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло. В методе Монте-Карло для случайной величины X с определённым законом распределения находится математическое ожидание, причем в качестве приблизительного значения математического ожидания можно использовать среднее значение из серии испытаний случайной величины X.

Это соотношение можно использовать для приближенного вычисления интеграла. Пусть Т – это случайная величина равномерно распределённая на отрезке . Равномерность распределения означает, что плотность распределения этой случайной величины во всех точках отрезка имеет одинаковое значение равное единице. То есть плотность распределения для этой случайной величины равна

В компьютерах встроены генераторы случайных чисел, имеющие нормальное распределение. Для вычисления по определению математического ожидания используется следующая формула

где, - это случайные числа равномерно распределённые на .

Тогда

При вычислении интеграла на путем замены интеграл приводится к отрезку если отрезок разбить на n частей, и каждый отрезок преобразовать в единичный, то для интеграла по

где - это случайное число на .

Метод 27