МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕСИТЕТ

(НОВОЧЕРКАССКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ)»

ВЫПОЛНИЛ:

СТУДЕНТ ФМФ II-1

КАПЛУНОВ НИКОЛАЙ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ:

КНЯЗЕВ СЕРГЕЙ ЮРЬЕВИЧ

НОВОЧЕРКАССК 2008

Содержание

Тема №1.

Модели и моделирование.

Погрешности численных методов.

Свойства численного решения.

Тема №2

Аппроксимация функций.

Метод 1. Интерполяционная формула Лагранжа.

Метод 2. Сплайны.

Метод 3. Сплайны третьей степени.

Метод 4. Метод наименьших квадратов.

Тема № 3

Решение нелинейных уравнений.

Метод 10. Метод половинного деления.

Метод 11. Метод простых итераций.

Метод 12. Метод хорд.

Метод 13. Метод Ньютона (касательных).

Тема № 4.

Решение систем линейных уравнений.

Метод 14. Метод Гаусса.

Метод 15. Метод прогонки.

Метод 16. Метод уточнения решения.

Метод 17. Метод Гаусса-Зейделя.

Тема № 5.

Решение систем не линейных уравнений.

Метод 18. Метод простой итерации.

Метод 19. Метод Ньютона для системы уравнений.

Метод 20. Метод возмущения параметров.

Тема № 6.

Численное интегрирование.

Метод 21. Метод прямоугольников

Метод 22. Метод трапеций.

Метод 23. Метод Симпсона

Метод 24. Метод Гаусса.

Метод 26. Метод Монте-Карло.

Метод 27. Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов.

Тема № 7.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Метод 28. Метод Эйлера.

Метод 29. Модифицированный метод Эйлера.

Метод 30. Метод Рунге-Кутта.

Метод 31. Метод Рунге-Кутта для решения систем ОДУ.

Метод 32. Метод Рунге-Кутта для ОДУ высших порядков.

Метод 33. Метод стрельбы.

Метод 34. Метод конечных разностей (МКР) (метод сеток).

Тема № 8.

Решение дифференциальных уравнений с частными производными.

Уравнение теплопроводности.

Метод 35. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности.

Метод 36. Не явная разностная схема для уравнения теплопроводности.

Тема №9.

Задачи оптимизации.

Метод 37. Метод половинного деления.

Метод 38. Метод золотого сечения.

Метод 39. Метод покоординатного подъёма (спуска).

Метод 40. Метод градиентного подъёма (спуска).

Метод 41. Метод наискорейшего подъёма.

Тема № 10.

Задания для самостоятельной проработки.

Транспортная задача.

Задача о ресурсах.

Волновое уравнение.

Уравнение Лапласа.

Тема1: Модели и моделирование

Используется 3 моделирования:

В научной и инженерной практики возникают задачи исследования разложения предметов, свойств и т.д. Эти задачи можно решать экспериментально, но он не всегда разумен: вследствие высокой стоимости, уникальности, недоступности.

Например: недра звезд и планет не доступны, при конструировании самолета требуются особые исследования. Во всех этих случаях реальные явления – объект (оригинал) заменяется его моделью. Исследование явлений объектов с помощью моделей называется моделированием. Существует множества видов модели: если модель и моделированный объект имеют оду и ту же физическую природу, то говорят о физической модели, при конструировании физической модели необходимо выделить существующие черты и свойства оригинала, наоборот второстепенные черты и свойства объекта можно не учитывать. Простейшей физической моделью является математическая точка (частица). Единственным существенным свойством частицы является масса. Всеми основными свойствами частицы (форма, состав, цвет, температура, вкус, запах и т.д.) можно пренебречь. При использовании модели необходимо четко представлять в каких условиях и для исследования, каких явлений применение данной модели конкретно.

Например: физическая модель частицы может применяться для исследования механического движения тел, размеры которых малы в сравнении с характерным масштабом задачи.

В качестве физической модели могут использоваться некоторые математические конструкции, необходимым условием физической модели в этом случае является геометрическое и физическое подобие модели и оригинала. Это означает, что сходственные моменты времени и в подобных точках пространства значение величин характеризующих явление для модели и оригинала должны быть пропорциональны друг другу, это позволяет производить пересчет результатов получения с помощью модели для оригинала. Для этого необходимо из величин характеризующих явление конструирования безразмерные комбинации, которые называются критериями подобия. Физически подобны будут модель и оригинал в том случае если критерии подобия для них имеют одинаковые значения.

Например: исследование течения жидкости по трубам различного диаметра, очевидно, что характер течения зависит от скорости, диаметра, плотности все они являются размерными, но из них можно сконструировать безразмерную величину число Рейнольдца:

Физически подобными будут течения с одинаковым числом Рейнольдца. Некоторые явления можно исследовать путем изучения какого-либо явления иной физической природы, но описываемого теме же математическими соотношениями, что и моделируемое явление.

Например: электрические и механические колебания и наоборот, такое моделирование называется аналоговое. Физическую модель можно исследовать экспериментально, однако есть другой весьма эффективный способ исследования модели и решения с ее помощью задач, для этого на основе физических законов и других соображений.

Например: предположение, имеющее характер гипотез строится система математических соотношений (равенства, неравенства уравнений, других логических конструкций), эти соотношения отображают с помощью математических символик содержащую постановку математических задач. Совокупность этих соотношений называется математической моделью, а решение задачи с помощью математической модели называется математическим моделированием. Процесс математического моделирования подразделяют на 3 этапа:

Первым этапом математического моделирования является подстановка задачи, определение объекта и цели исследования, определение факторов изучения, формулирование законов связывающих объекты и факторы модели. Первый этап завершается записью математических терминов соотношения между объектами модели, тем самым физическая или техническая задача сводится к математической задачи. Первый этап моделирования – построение математической модели является одним из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Трудность первого этапа связан с необходимостью соединения математических и специальных знаний и с возможной неопределенностью и неоднозначностью задачи.

Значение этапа:

Правильно выбранная математическая модель решает поставленную задачу наполовину. Математическая модель не определяется однозначно исследовательным объектом. Для ее разработки необходимо сформулировать упрощающие предположения лежащие в основе модели. Установить такие факторы необходимо (установить степень точности).

На втором этапе производится исследование математической задачи, ее решение иногда возможно аналитическое решение полученной математической задачи, однако в большинстве случаев это не удается, в этом случае для решения задачи используют численные методы.

На третьем этапе выясняется вопрос о достоверности полученных результатов о согласии теоретических следствий модели с реально наблюдаемыми результатами. При этом делается вывод о правильности и неправильности положений, лежащих в основе математической модели и в случае необходимости рассматриваемая модель уточняется или утверждается. Основным критерием является эксперимент, практика. Исследование задач обычно начинается с построения и анализа простейшей и наиболее грубой модели, а в дальнейшем решается вопрос о дальнейшем уточнении модели.