2.3. Метод интегрирования по частям

(6)

Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции, например, или , или .

– это все подынтегральное выражение, часть которого мы обозначаем за , а часть за . При этом:

1. за принимается функция, которая дифференцированием упрощается.

2. за – та часть, интеграл от которой известен или легко может быть взят.

3. в состав обязательно входит .

В итоге верного выбора и интеграл в (6) должен быть проще исходного.

Пример 15.

.

Замечание 1. Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз.

Замечание 2. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла , , если

, то получаем уравнение: , откуда

или .

Пример 16. – решить методом по частям, используя примечание. При верном решении должен получиться ответ:

.

Только по частям берутся интегралы:

а) , многочлен -ой степени,

, в частности одночлен

, ,

б) ,

,

, ,

в) ,

, или .

Интегралы типа (в) интегрируются дважды по частям.

Пример 16.

.

Рассмотрим отдельные классы функций и способы их интегрирования.

III. Интегрирование рациональных дробей

3.1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:

1. , 2. , 3. , при ,

4. , при (, , , , , ).

При интегрировании дробей типа 1 – 2 достаточно ввести подстановку , (или ), тогда

1. ;

2. , ().

Чтобы проинтегрировать дроби типа 3 – 4, необходимо выделить полный квадрат из квадратного трехчлена, затем свести интеграл к табличному.

Пример 17.

Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена

=

.

(табл. интегр., 11)

Замечание. При интегрировании дробей типа 3 – 4 можно воспользоваться справочником.

3.2. Правильные и неправильные рациональные дроби

Определение: Дробь называется рациональной, где , – многочлены -ой и -ой степеней.

Если , дробь неправильная.

Если , дробь правильная.

Неправильную дробь представляют в виде суммы целой части и правильной дроби. Операция выделения целой части может быть выполнена делением числителя на знаменатель.

Пример 18. Дробь неправильная (, , ). Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель.

.

Пример 19. Дробь правильная, т. к. , , .

Пример 20. Дробь неправильная (, , ).

.

3.3. Разложение правильной дроби

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей вида 1 – 4.

Пусть дробь правильная. Разложим знаменатель дроби на множители. Найдем его корни, т. е. значения , при которых знаменатель обращается в нуль. Тогда многочлен разложится на множители:

, где

– действительные корни многочлена. Множитель не разложим на линейные множители, т. к. .

Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь. Укажем, какому множителю какая дробь соответствует:

, если .

,

если .

– пока неизвестные коэффициенты.

Разложить на простейшие дроби.

Пример 21. .

Пример 22.

– не имеет действительных корней, т. к. .

Пример 23.

.

Пример 24.

,

– не имеет действительных корней, т. к. .