I. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение
1. Функция
называется первообразной для
,
если
(1)
или
(2)
Пример
1.
есть первообразная для
,
так как
или
.
Пример
2.
есть первообразная для
,
так как
или
.
Всякая
непрерывная функция
имеет бесчисленное первообразная,
которое отличаются друг друга на
постоянное число.
Так
в 1-м примере для
первообразный будут, кроме
,
,
,
,
и другие. Все они удовлетворяют условию
(1) и (2). Вообще в общем виде можно записать
первообразную в виде
,
где
– произвольная постоянная. Действительно,
или
.
Определение
2. Общее
выражение
совокупности всех первообразных для
функции
называется неопределенным интегралом
от этой функции и обозначается
(3)
При
этом
,
где
– подынтегральное
выражение,
– подынтегральная
функция.
Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием.
Итак, интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому каждой формуле дифференцирования (1) соответствуют формула интегрирования (3).
Пример
3.
,
где
– const.
Ниже приведена таблица основных интегралов. Каждую формулу можно проверить дифференцированием.
Таблица основных интегралов
1.
(
,
– const,
)
2.
(для
любого
)
2.1.
2.2.
3.
4.
(
,
,
)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(
)
11.
(
)
12.
13.
При интегрировании используются свойства интегралов.
Свойства интегралов
-
-
,
в частности,
, 
-
,
где
-
Таблицу интегралов и свойства необходимо выучить наизусть.
II. Методы интегрирования
Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям.
2.1. Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример
4.
.
(использованы
свойства 3, 4; табличный интеграл 2,
)
Правильность ответа проверяем дифференцированием:
.
Пример
5.
.
(свойства 3, 44 табличные интегралы 2.2 и 3).
Пример
6.
(свойства 3,4; табличные интегралы 1 и 7).
2.2. Метод замены переменной (подстановки)
Для
вычисления интеграла
сделаем замену
,
где
выбирается так, чтобы после преобразований
данного интеграла и новой переменной
,
получился интеграл, который берется
непосредственно.
Предварительно
находим
,
тогда
.
(4)
После
нахождения первообразной
необходимо вернуться к первоначальной
переменной «
».
Пример
7.
.
Пример
8.
.
Замечание. Следующие интегралы удобно решать указанной заменой
, 
; 
;
, 
; 
;
, 
; 
.
Пример
9.
,
т.
к.
.
Формулой (4) часто пользуются справа налево:
, 
.
(5)
При
этой замене надо помнить, что в составе
подынтегрального выражения должен быть
дифференциал функции
.
Такой метод называется под знак дифференциала
.
(5’)
При использовании этого метода можно воспользоваться таблицей дифференциалов.
Таблица дифференциалов
1.
,
– const,
,
2.
3.
4.
, 
, 
, 
5.
6.
7.
8.
9.
10.
, 
11.
, 
Пример
10.
Согласно
таблице дифференциалов, 1, с. 7
,
положим
,
,
,
.
.
Пример
11.
По
таблице дифференциалов, 1, с. 7
,
положим
,
,
,
.
.
Пример
12.
– можно найти двумя способами:
1
способ.
;
2
способ.
.
Пример
13.
1
способ.
;
2
способ.
.
Пример
14.
.
(табл. интегр., 3,
)