2.2.30 Интегралы вида: ,

Интегралы данного вида находятся путем выделения полного квадрата из данного

квадратного трехчлена по формуле:

(**) и применения правил 1,2.

Интеграл , после выделения полного квадрата сводится к формулам 9 или 10.

Интеграл , после выделения полного квадрата сводится к формулам 8 или

11.

2.2.14 |выделите в знаменатели ПФ полный квадрат по формуле (**)| =

2.2.16 =

(сомножитель (-1) внесем в квадратные скобки, получим ) =

Выполните самостоятельно

33

34

35

36

2.2.4⁰ Интегрирование дробных функций (рациональных или иррациональных), когда в знаменатели или под корнем в знаменатели стоит функция, производная которой равна числителю (или приводится к числителю).

Интегралы этого вида находятся путем замены многочлена стоящего в знаменателе ПФ новой переменной

2.2.17

Замечаем, что производная знаменателя ПФ , отличается от числителя только постоянным множителем. Выполним интегрирование, за новую переменную примем

2.2.18

Легко заметить, что если в числителе стоит производная знаменателя, то интеграл всегда равен натуральному логарифму знаменателя.

2.2.19

2.2.20

Правило 3

Если под знаком интеграла стоит дробная функция (рациональная или иррациональная), в знаменателе которой или под корнем в знаменателе содержится функция, производная которой равна числителю (или приводится к числителю), то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем функция, стоящая в знаменатели обозначается за t. где или где , то

Выполните самостоятельно

37		38		39		40
41		42		43		44

2.2.50 Интегралы вида:

Рассмотрим интегралы, в которых ПФ представлена как произведение сложной функции и производной ее промежуточного аргумента. В этом случае промежуточный аргумент принимается за новую переменную t .

Например

Функция сложная, ее промежуточный аргумент равен , производная которого содержится в ПФ, поэтому интеграл сводится к табличному подстановкой . Действительно

=

Рассмотрите интегралы данного вида

2.2.23 =

2.2.25

2.2.26

2.2.27

2.2.28

2.2.29

Выполните самостоятельно

45		46		47		48
49		50		51		52
53		54		55		56
57		58		59		60

Правило 4

Если под знаком интеграла стоит сложная функция в произведение с производной своего промежуточного аргумента , то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем промежуточный аргумент обозначается за t. ,

Замечание Используя правило 4 вычисляются интегралы, которые с помощью подстановки сводятся к табличным интегралам по формулам 8-11. (Обратите внимание, что данные интегралы имеют «специфический» вид).

2.2.30

2.2.31

2.2.32

2.2.33

Выполните самостоятельно

61		62		63		64
65		66		67		68
69		70		71		72

Указания:

66 Представьте , обозначьте

68 Представьте , обозначьте

70 Обозначьте и распишите