2.2 Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введение новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводится (в случае «удачной» подстановки). Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Тем не менее, рассмотрим несколько общих подходов (назовем их правилами) к данному методу, что позволит систематизировать умение интегрировать методом подстановки и определять новую переменную.

2.2.1⁰ Интегрирование функций (табличные интегралы) к аргументу, которых прибавляется постоянная величина

Рассмотрим некоторые табличные интегралы к аргументу, которых прибавляется (вычитается) постоянная величина .

2.2.1

Решение. Введем подстановку x+2 = t (*). Найдем дифференциал от правой и левой частей равенства (*), получим:

, ,

Подставим вместо x+2 и их значения через t в данный интеграл, получим:

Легко заметить, что формулы интегрирования сохраняют инвариантность (вид). В данном случаи степенная функция интегрируется по аргументу (х+2).

2.2.2

Правило 1

Если к аргументу подынтегральной функции прибавляется (вычитается) постоянная величина , то формулы интегрирования сохраняют инвариантность

2.2.3

2.2.2⁰ Интегрирование функций (табличные интегралы) аргумент, которых умножается на постоянную величину

Рассмотрим некоторые табличные интегралы аргумент, которых умножается на постоянную величину

2.2.4

Решение. Введем подстановку 3x = t (*). Найдем дифференциал от правой и левой частей равенства (*), получим:

, ,

Подставим вместо и их значения через t в данный интеграл, получим:

| заменим t его выражением через x|=

Замечание В дальнейшем процедура решения, представленная, в примерах 32, 35 будет записываться в виде:

.

Правило 2

Если аргумент подынтегральной функции умножается на постоянную величину , то формулы интегрирования сохраняют инвариантность, результат интегрирования умножается на число .

2.2.6

2.2.7

Замечание. Правила 1 и 2 к подынтегральной функции могут применяться одновременно.

2.2.8 2.2.9

2.2.10

2.2.11

2.2.12

При интегрирование тригонометрических функций и применяются формулы понижения степени :

и

Выполните самостоятельно

25		26		27		28
29		30		31		32