• Глава 5 Интеграл. Интегральное исчисление, §1 Неопределенный интеграл, п.78-81;

- Подольский, В.А. Сборник задач по математике: Учеб. пособие/Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. – 3-е изд., стер. – М.: Высш.шк., 2005. – 495 с.: ил.

Глава 12 Неопределенный интеграл, §1-§3.

1 Неопределенный интеграл

1.1 Понятие неопределенного интеграла

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции.

Разнообразные вопросы математического анализа, его многочисленные приложения в геометрии, физике, химии приводят к решению обратной задачи: по заданной функции найти такую функцию , производная которой была бы равна функции , т.е. найти функцию , зная её производную .

Обратную задачу решает интегральное исчисление.

Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.

Определение Функция называется первообразной функции в данном интервале, если во всех точках этого интервала её производная равна заданной функции, т.е. .

Из определения вытекают три вопроса.

1 Любая ли функция имеет первообразную?

2 Если существует, то сколько первообразных может иметь заданная функция?

3 Как найти эти первообразные?

Ответы на эти вопросы дают теоремы.

Теорема 1 (без доказательства)

Если функция непрерывная в данном интервале, то она имеет первообразную.

Теорема 2

Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных

Пусть - первообразная функции , тогда и функция так же является её первообразной. Действительно :

Например, первообразной функции является функция, т.к.

Очевидно, что первообразными будут также любые функции где С – постоянная, поскольку

Теорема 3 (без доказательства)

Любые две первообразные функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Определение Неопределенным интегралом для заданной функции называется совокупность всех её первообразных и обозначается .

Таким образом, по определению

(*)

В равенстве (*):

- подынтегральная функция (ПФ);

- подынтегральное выражение (ПВ);

- первообразная функции;

- совокупность первообразных;

- дифференциал независимой переменной, указывает по какой переменно функция интегрируется.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Интегрирование действие обратное дифференцированию и его можно проверить дифференцированием.

1.2 Свойства неопределённого интеграла

1.2.1 Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

1.2.2 Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

1.2.3 Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

1.2.4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

1.2.5 Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функции:

1. 3 Таблица основных интегралов

1	8
2	8.1
2.1	8.2
2.2	9
3	9.1
3.1	9.2
3.2	10
3.3
4
4.1	10.1
4.2	10.2
5	11
5.1	11.1
5.2	11.2
6	12
6.1	12.1
6.2	12.2
7	13
7.1	13.1
7.2	13.2
14	15