Упражнение 4.1

1. Если производственная функция берется по форме Кобба-Дугласа

,

где - темпы технического прогресса, константа. Введем соотношение капитала и эффективности труда с помощью следующего:

Покажем, что уравнение накопления капитала, соответствующее форме уравнения (4.1.10), принимает вид

Кроме того, найдем условия равновесия и стабильности для ОМР с учетом экзогенных технологий.

4.2 ОМР с производственной функцией Кобба-Дугласа.

Этот раздел объясняет ОМР, когда производственная функция берется по производственной функции Кобба-Дугласа

где А – норма измерения общей производительности, а - параметры. Параметр А часто называют совокупной производительностью факторов производства или просто производительностью. Резюмируем ОМР на душу населения по уравнению (4.2.1)

Теперь имитируем эту модель с учетом параметров, таких, как

Население растет с годовым темпом роста, равным 1,5 процента, капитал обесценивается по ставке в 1,5 процента. Склонность к накоплению богатства равна 0,55, что может быть необоснованно низким для богатой экономики. В дальнейшее мы обсудим возможные изменения . Здесь мы не рассматриваем никаких технологических изменений и указываем А=1. Параметр установлен на уровне 0,3. При начальных условиях, таких, как , мы запускаем динамику экономики на 25 лет. Рисунок 4.1.1а описывает динамику капитала на душу населения и дохода на душу населения. Капитал и доходы на душу населения имеют сходные модели роста – в начальной стадии они растут очень быстро. Темпы роста этих двух переменных показаны на рисунке 4.2.1с. Так как потребление на душу населения и сбережения положительно пропорционально связаны с капиталом и доходом на душу населения, они растут по тем же схемам и , как показано на рисунке 4.2.1b. Ставка заработной платы растет не быстро даже на начальном этапе экономического роста, и становится стационарной через несколько лет. Аналогичным образом, но в противоположном направлении, процентная ставка снижается в исходном периоде, но становится стационарной в ближайшее время.

Мы опишем динамику модели с помощью компьютера. Фактически, мы можем аналитически решить все переменные. Уравнение (4.2.3) – уравнение Бернулли по переменной Подставляя в уравнение (4.2.3), получаем

которое является стандартным дифференциальным уравнением первого порядка. Решение берется как

Подставляя обратно в уравнение (4.2.5), мы получаем

где - начальное значение соотношения капитала и труда . Это решение, определяемое время пути . Как только мы узнаем , все точки будут точно установлены в любой момент времени.

При экспоненциальное выражение будет стремиться к нулю. Следовательно, позволяя , дает уникальное стационарное отношение капитала к активам

Соотношение капитала и труда подойдет в качестве равновесного значения, как равновесное значение. Это устойчивое состояние, как показано в предыдущем разделе, изменяется непосредственно с склонность к сбережениям , технологиями обратной склонностью к потреблению , темпами роста населения и амортизационной ставкой капитала .

Мы упоминали, что рост склонности к собственным богатствам может либо увеличивать, либо уменьшать потребление. Теперь мы сымитируем модель для демонстрации равновесных значений и , варьирующихся как склонность к изменению собственных богатств. Мы указываем параметры следующим образом

Используя

мы изображаем, как изменяются при , изменяющемся . Потребление на душу населения увеличивается с увеличением , пока не достигнет 0,5628; после =0,5628 потребление на душу населения уменьшается с ростом . Моделирование показывает, что с точки зрения долгосрочного периода предпочтительно иметь «правильную» склонность к обретению богатств. Сбережения на душу населения, текущий доход, а также одноразовый доход растут с ростом . Национальная экономика может, определенно, стать богатой в этой модели, увеличивая склонность к обретению богатств. Если экономика «чрезмерно экономит», ее доход повышает, но при этом уменьшается потребление.