4. Двойственные задачи

Рассмотрим специальный инструментарий для поведения экономико-математического анализа полученного оптимального плана – теории двойственности в линейном программировании.

При этом математические утверждения принимаются без доказательства – необходимо содержательно их понимать и уметь использовать в экономическом анализе.

С каждой задачей линейного программирования определенным образом (по определенному правилу) связана другая ЗЛП, называемая двойственной к исходной (первоначальной) задаче.

Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой. Имея решение двойственной задачи, которое интерпретируется как совокупность условных оценок (теневых цен) участвующих в производстве ресурсов, можно провести экономико-математический анализ оптимального плана исходной задачи и сделать ряд экономически содержательных выводов.

Ранее была рассмотрена задача об использовании ресурсов (экономико-математическая модель и содержательная интерпретация этой задачи I представлены в левой части табл. 1). В приведенной модели b_i (i = 1, 2, ..., т) обозначает запас ресурса S_i; a_ij — число единиц ресурса S_i, потребляемого при производстве единицы продукции P_j (j = 1, 2, ..., n); c_j — прибыль (выручка) от реализации единицы продукции P_i (или цена продукции Р_i).

Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы S₁, S₂, …, S_m предприятия и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы y₁, у₂, …, y_т.

Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы Z в количествах b₁, b₂, …, b_m по ценам соответственно y₁, у₂, …, y_т, были минимальны, т.е.

Z = b₁y₁ + b₂y₂ + … + b_my_m  min.

С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции Р₁ расходуется a₁₁ единиц ресурса S₁, a₂₁ единиц ресурса S₂, ..., a_i1 единиц ресурса S_i, ..., а_m1 единиц ресурса S_m, по цене соответственно y₁, у₂, …, y_т. Поэтому для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции Р₁, должны быть не менее ее цены c₁, т.е.

a₁₁y₁ + a₂₁y₂ + … + a_m1y_m  c₁.

Аналогично можно составить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции Р₁, Р₂, …, Р_n. Экономико-математическая модель и содержательная интерпретация полученной таким образом двойственной задачи II приведены в правой части табл. 4.1.

Таблица 4.1
Задача I (исходная)	Задача II (двойственная)
F = c1x1 + c2x2 + … + cnxn  max (4.1)	Z = b1y1 + b2y2 + … + bmym  min (4.4)
при ограничениях:	при ограничениях:
(4.2)	(4.5)
и условии неотрицательности x10, x20, …, xn  0. (4.3)	и условии неотрицательности y10, y2 0, …, ym  0. (4.6)
Составить такой план выпуска продукции Х = (x1, x2, …, xn), при котором прибыль (выручка) от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов	Найти такой набор цен (оценок) ресурсов Y = (y1, y2, …, ym), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой продукции

Цены ресурсов y₁, у₂, …, y_т в экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, "ненастоящие" цены. В отличие от "внешних" цен c₁, c₂, …, c_n на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов y₁, у₂, …, y_т являются внутренними, ибо они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.

Правила построения двойственной задачи определяются системой отношений:

1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задаче ищут максимум линейной функции, то все неравенства системы ограничений привести к виду "", а если минимум — к виду "". Для этого неравенства, в которых данное требование не выполняется, умножить на -1.

2. Составить расширенную матрицу системы А₁, в которую включить матрицу коэффициентов при переменных А, столбец свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в линейной функции.

3. Найти матрицу A₁', транспонированную к матрице А₁.

4. Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы A₁' и условия неотрицательности переменных.

Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается с помощью теорем двойственности.

Первая (основная) теорема двойственности. Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения их линейных функций равны:

F_max = Z_min или F(X^*) = Z(Y^*). (4.7)

Если линейная функция одной из задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

Экономический смысл первой (основной) теоремы двойственности. План производства Х^* = (x₁^*, x₂^*, …, x_n^*) и набор цен (оценок) ресурсов Y^* = (y₁^*, y₂^*, …, y_m^*) оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль (выручка) от продукции, найденная при "внешних" (известных заранее) ценах c₁, c₂, …, c_n, равна затратам на ресурсы по "внутренним " (определяемым только из решения задачи) ценам y₁, y₂, …, y_m. Для всех же других планов Х и Y обеих прибыль (выручка) от продукции всегда меньше (или равна) затрат на ресурсы.

Экономический смысл первой теоремы двойственности можно интерпретировать и так: предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану Х^* = (x₁^*, x₂^*, …, x_n^*) и получить максимальную прибыль (выручку) F_max либо продавать ресурсы по оптимальным ценам Y^* = (y₁^*, y₂^*, …, y_m^*) и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы Z_min.

Теорема 2 (о дополняющей нежесткости). Если при подстановке компонент оптимального плана в систему ограничений исходной задачи i-е ограничение обращается в неравенство, то i-я компонента оптимального плана двойственной задачи равна нулю. Если‚ i-я компонента оптимального плана двойственной задачи положительна, то i-е ограничение исходной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.

То есть для оптимальных планов двойственных задач имеют место соотношения:

Оптимальные значения переменных двойственной задачи и называют двойственными оценками.

Пример 4.1. На станках трех видов С₁, С₂, С₃ последовательно обрабатывается детали четырех видов: D₁, D₂, D₃, D₄.

Таблица 4.2

Станки	Сколько требуется часов работы станка для выпуска одной детали, час/дет.				Фонд рабочего времени, час.
	D1	D2	D3	D4
C1	2	4	0	8	12
C2	7	2	2	6	8
C3	5	8	4	3	48
Прибыль на одну деталь, у.е./дет.	3	4	3	1

Известно, сколько часов каждая деталь изготавливается на каждом станке, сколько времени может отработать каждый станок и какая прибыль может быть получена при продаже одной детали каждого вида. Данные для решения задачи содержатся в таблице 4.2.

Найден оптимальный по критерию «максимум прибыли» план, предусматривающий выпуск трех деталей второго вида и одной детали третьего вида. Дать экономико - математический анализ оптимального плана.

Решение: Обозначим через х_j (j=1,…,4) – объем выпуска деталей j-того вида и запишем математическую модель задачи по критерию «максимум прибыли»:

(*)

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности объемов используемых в производстве ресурсов.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом Х*=( х₁ = 0, х₂ =3, х₃ = 1, х₄ = 0):

Значение целевой функции на этом плане равно

Двойственная задача имеет вид:

Для нахождения оценок у₁, у₂, у₃ используем вторую теорему двойственности. Поскольку третье ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то у₃ =0. Так как х₂>0 х₃> 0, то второе и третье неравенства из двойственной задачи выполняются как равенства:

Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

т. е.

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок (для определения этих границ существуют математические соотношения, которые реализованы в «Отчете по устойчивости» Excel) имеют место следующие свойства.

1. величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращения объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи).

В рассматриваемом примере увеличение фонда времени работы станка С₁ на 1 час привело бы к росту максимальной суммы прибыли на 0,25 у.е. (у₁=1/4), а увеличение фонда рабочего времени третьего станка не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму прибыли.

Сказанное позволяет выявить направления «расшивки» узких мест, обеспечивающие получение наибольшего экономического эффекта, а также целесообразность изменения в структуре выпуска продукции с позиций общего оптимума.

2. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем не дефицитными (избыточны).

В примере недефицитным является фонд рабочего времени станка С₃ поскольку у₃=0.

Острее ощущается дефицитность ресурса С₂ (у₂=3/2) – он более дефицитен, чем ресурс С₁ (у₁ =1/4).

3. Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов»: имеется в виду не абсолютная заменяемость, а относительная, т. е. заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи.

В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением (нормой) 1/4 : 3/2=1:6.

4. Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определить выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов:

если – выгодно,

если Δ_j > 0 – невыгодно.

Предположим в рассматриваемом примере следует решить вопрос о целесообразности включения в программу производство деталей нового (пятого) вида при затратах ресурсов станков: 8, 2 и 3 соответственно и ожидаемой удельной прибыли в : а) 6 у.е.; б)1 у.е.

С учетом сказанного будем иметь в двух рассматриваемых случаях:

в случае а) 8*1/4+2*3/2+3*0 – 6= –1 <0 – выгодно расширение ассортимента;

в случае б) 8*1/4 +2*3/2+3*0 – 1= 4 >0 – невыгодно.

Ответим на вопрос, как изменится объем выпуска продукции и прибыль от ее реализации, если фонд рабочего времени станка С₁ увеличится на 2 часа, а фонд рабочего времени станка С₂ уменьшится на 1 час?

Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок имеем:

Отсюда определяется план выпуска в новых производственных условиях Х= ( х₁ = 0; х₂ =3,5; х₃ = 0; х₄ = 0) . Соответственно прибыль составит 14 у.е., т.е. уменьшится на 1 у.е.