1. Формулировка общей задачи линейного программирования

З адача математического программирования, в которой целевая функция f(x) и функции ограничений g_i(x) - линейные, называется задачей линейного программирования (ЛП).

В покоординатной форме она имеет вид:

Форму записи (1.1а) называют общей формой записи задачи ЛП. Тривиальные условия (1.1г) формально являются частным случаем ограничений (1.1б), но для теоретических исследований и для практического построения методов решения задачи ЛII удобнее, если они выделены в отдельную группу.

Любой вектор Х = (х₁, х₂,..., х_n)^T, удовлетворяющий всем ограничениям задачи, определяет одно из допустимых решений задачи, которое в ЛП часто называют допустимым планом. В общем случае их может быть бесчисленное множество.

Целью решения задачи ЛП является определение такого допустимого плана (решения), для которого целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение. Такой допустимый план называется оптимальным.

На практике для решения задачи ЛП ее записывают не в общей форме, а в стандартной или в канонической формах.

Стандартная форма записи имеет следующий вид:

Задачу (1.2) удобно записывать в матричной форме:

где - вектор неизвестных; - вектор коэффициентов целевой функции; - вектор правых частей; - матрица коэффициентов ограничений размером тп, т.е. число строк матрицы А совпадает с числом нетривиальных ограничений, а число столбцов - с числом неизвестных. Часто матрицу А называют матрицей условий.

Задача ЛП в канонической форме записывается следующим образом:

Ее можно также записывать в матричной форме:

Любая задача ЛП может быть сведена к одной из этих форм. Указанные формы записи (1.1), (1.2) и (1.3) эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью элементарных преобразований может быть приведена к другой форме записи задачи.

Рассмотрим элементарные преобразования, позволяющие осуществить переход от одной формы записи задачи ЛП к другой.

1. Задача минимизации (максимизации) f(x) эквивалентна задаче максимизации (минимизации) функции –f(x)

2. Неравенство эквивалентно неравенству

3. Уравнение эквивалентно паре неравенств:

4. Неравенство эквивалентно системе из уравнения и тривиального неравенства:

Здесь каждая переменная x_n+i - балансовая (дополнительная) переменная, и ее значение равно разности значений между правой и левой частями исходного неравенства.

5. Переменную задачи x_i, не ограниченную по знаку, можно заменить двумя независимыми неотрицательными переменными:

П ример 1.1. Привести к канонической форме следующую задачу ЛП:

Введем во второе и третье неравенства системы ограничений балансовые переменные х₅ > 0 и х₆ > 0, а переменную x₃, не удовлетворяющую условию неотрицательности, представим в виде разности двух неотрицательных переменных . Вместо целевой функции f введем новую f₁=-f Тогда приходим к следующей, канонической форме задачи:

Пример 1.2. Привести к стандартной форме следующую задачу ЛП:

Поскольку исходная задача представлена в канонической форме, переходить к стандартной форме можно следующим образом. Сначала преобразуем систему ограничений методом исключений Гаусса к виду:

Теперь выразим переменные x₁, x₂ и x₃ через переменные x₄ и x₅ и подставим эти выражения в целевую функцию.

Переменные x₁, x₂ и x₃ – неотрицательны, в ограничениях задачи они играют ту же роль, что и балансовые переменные, поэтому их можно отбросить, заменив равенства неравенствами. В итоге получаем следующую задачу:

Заметим, что постоянная 28 в целевой функции не влияет на оптимальные значения переменных задачи и ее можно не учитывать при определении последних. Однако при окончательном определении оптимального значения целевой функции ее нужно учитывать обязательно.

Остановимся на задаче ЛП, записанной в канонически форме (1.3). В дальнейшем, если не оговорено особо, будем считать выполненным условие

(1.4)

Равенство рангов матрицы условий А и расширенной матрицы (А, b) определяет совместность (непротиворечивость) системы линейных уравнений (1.3б).

Если система ограничений (1.3б) совместна, то m – rank(A) уравнений линейно зависят от других уравнений и их можно отбросить, т.е. можно считать, что m = rank(A) < п.

Если система совместна и т = n, то решение единственно, и задача оптимизации не имеет смысла.

Если при совместности системы и m<n, то решений бесконечно много и задача отыскания оптимального решения становится содержательной.

Любой набор из т линейно независимых векторов условий (столбцов матрицы А) a_i, i В, |B| =m называется базисом (текущим базисом) задачи ЛП.

Соответствующие базисным векторам переменные x_i, i В, |B| =m, называются базисными переменными.

Векторы a_k, k  N, |N| = п-m, не принадлежащие базису, называются небазисными, а соответствующие им переменные x_k, k  N - свободными (небазисными).

Частное решение Х недоопределенной системы линейных уравнений (1.3б), в котором свободные переменные, r_k = 0, k  N, называется базисным. Базисные компоненты x_i, i В этого базисного решения можно получить двумя способами.

1. Положим x_k = 0, k N и решим систему из m уравнений с m неизвестными:

2. С точки зрения решения задачи ЛП более продуктивно действовать иначе. Поскольку выполнено условие (1.4) и векторы базиса линейно независимы, то систему (1.3б) можно разрешить относительно базисных переменных x_i, i В, т.е. преобразовать к виду:

(1.5)

например, методом Гаусса. Система (1.5) называется канонической формой ограничений (1.3б), приведенной к текущему базису (приведенной канонической формой ограничений (1.3б)). Эта система эквивалентна исходной системе ограничений (1.3б), причем каждая базисная переменная x_i, i В входит только в одно уравнение, т.е. столбцы матрицы системы (1.5), соответствующие базисным переменным, являются единичными. Полагая в системе (1.5) x_k = 0, k N получаем базисные компоненты базисного решения: x_i=_i, i В. Таким образом, эту систему можно представить в следующей форме:

Если в текущем базисном решении все базисные компоненты, то оно будет допустимым для задачи ЛП (1.3), так как условия неотрицательности (1.3в) удовлетворяются.

Если в базисном допустимом решении все х_i>0, i  В, то оно называется невырожденным, если же среди базисных компонент есть нулевые, то такое решение вырожденное. Задача ЛП, у которой все базисные допустимые решения невырожденные, называется невырожденной.

Два базиса (базисных решения) называются смежными, если входящие в них нулевые свободные переменные отличаются только одной компонентой, т.е. п - т = 1 свободных компонент совпадают. Если имеем систему (1.6), приведенную к какому-то базису, то для получения системы ограничений, приведенной к смежному базису, достаточно выполнить один шаг метода Гаусса, разрешив ее относительно новой базисной переменной. В этом случае новый вектор условий (переменная) вводится в базис, а один из старых векторов (одна из переменных) выводится из базиса.

Пример 1.3. Выделить 4 базисных решения системы:

Система уже разрешена относительно переменных х₃, x₄, x₅. Полагая свободные переменные x₁ = х₂ = 0, получаем невырожденное базисное допустимое решение (0,0,1,1,2)^T.

Введем в базис х₁ и выведем х₃. Для этого исключим x₁ из третьего уравнения:

Получим смежное невырожденное базисное решение (1,0,0,1,1)^Т.

Введем в базис х₃ и выведем x₅, исключив х₃ из первого уравнения:

Базисное решение (2,0,-1,1,0)^T недопустимо для соответствующей задачи Л П.

Наконец, введем в базис x₂, a выведем х₃, исключив x₂ из первых двух уравнений:

Новое базисное допустимое решение (1,1,0,0,0)^T оказывается вырожденным.