2.2. Категории

Теория категорий была создана около 1945 года, когда С. Эйленберг и С. Маклейн [40] определили понятия «категория», «функтор» между категориями и «естественное преобразование» между функторами. В настоящее время имеется множество введений в теорию [34, 72, 75], включая некоторые, свободно доступные в сети Интернет [20, 46]. Тем не менее, здесь будут приведены некоторые основы.

Определение 1. Категория  состоит из:

• совокупности объектов, при этом если  является объектом , то это записывается как ;

• множеств  морфизмов из  в  для каждой пары объектов  и . Такие множества обозначаются как .

        Если , то этот факт можно записать как . Для перечисленных компонентов категории выполняются следующие правила:

• Для произвольного объекта  существует тождественный морфизм .

• Морфизмы можно подвергать композиции: при наличии  и  имеет место композиция морфизмов , которая также иногда записывается как .

• Тождественный морфизм является одновременно левой и правой единицей относительно операции композиции, то есть, если , то .

• Операция композиции ассоциативна, то есть  для произвольных морфизмов ,  и .

Определение 2. Морфизм  называется изоморфизмом, если у него есть обратный морфизм, то есть существует морфизм  такой, что  и .

Категория является простейшей конструкцией, позволяющей описывать системы (объекты) и процессы (морфизмы). Для большей наглядности можно использовать наиболее упрощённые диаграммы Фейнмана. Применимо к линейной алгебре подобные диаграммы часто называются «сплетёнными сетями», а специалисты по теории категорий называют их «струнными диаграммами»; последний термин будет использоваться в настоящей статье. Термин «струна» в данном случае не имеет отношения к теории струн, дело в том, что объекты категории обозначаются как «струны» или «проволочки»:

а морфизмы обозначаются как «чёрные ящики», в которые входит струна типа  и выходит струна типа :

Композиция двух морфизмов осуществляется при присоединении выхода одного «чёрного ящика» ко входу другого. Таким образом, композиция морфизмов  и  выглядит следующим образом:

Ассоциативность операции композиции в данном случае подразумевается:

Данная совокупность условных знаков обозначает и , и . Таким же образом, если изобразить тождественный морфизм  в виде струны, помеченной объектом :

то в этом случае правила для левой и правой единицы также подразумеваются.

Существует бесконечное количество примеров категорий, но в данной статье будут рассмотрены лишь четыре:

1.  — категория множеств.

2.  — категория конечномерных гильбертовых пространств.

3.  — категория, морфизмами которой являются -мерные бордизмы.

4.  — категория, морфизмами которой являются -коразмерные танглыТеория танглов — один из разделов теории узлов — прим. перев. .

Как будет ясно в дальнейшем, все четыре упомянутых категории являются замкнутыми симметричными моноидальными категориями, по крайней мере в случае, если  достаточно велико. Однако наиболее известная  категория —  категория — несколько отличается от остальных, поскольку она является декартовой.

По сложившейся традиции, в центре внимания математиков была категория , в которой объектами являются множества, а морфизмами функции. Таким образом, при изучении систем и процессов в физике очень заманчивым является представление системы в качестве множества состояний, а процессов в виде функции перехода из состояния одной системы в состояние другой.

Однако в квантовой физике учёные используют категорию, в которой объектами являются гильбертовы пространства, а морфизмами — связанные линейные операторы. Система определяется при помощи задания гильбертова пространства, но такое гильбертово пространство не является в точности множеством состояний системы, поскольку состоянием системы является траектория в гильбертовом пространстве. Таким же образом связанный линейный оператор не является в точности функцией перехода из состояния одной системы в состояние другой системы.

Когда же дело касается практической деятельности в области квантовой физики, реальное значение имеют не состояния и функции между ними, а гильбертово пространство и операторы. Одним из достоинств теории категорий является то, что она освобождает исследователя от «-центристского» взгляда на традиционную математику и позволяет применять в квантовой физике её собственные термины. Как будет показано, это позволит представить затруднения, всегда возникающие при попытке понять квантовый мир, в ином освещении [11].

Чтобы избежать спорных моментов, которые могут завести обсуждение далеко в сторону, далее объектами категории   будут считаться  конечномерные гильбертовы пространства, а морфизмами — линейные операторы (которые в данном случае автоматически являются связанными). Конечномерные гильбертовы пространства достаточно удобны для целей изложения; бесконечномерные гильбертовы пространства в определённых случаях очень важны, но их использование  потребует некоторых существенных дополнений к идеям, которые будут обсуждены в статье.

В физике также используются категории, в которых объекты представляют собой выбор пространств, а морфизмы — выбор пространства-времени. Простейшей такой категорией является категория , где объектами являются ()-мерные многообразия, а морфизмами — -мерные бордизмы. Если не учитывать некоторые тонкости, которые подробно рассмотрены в иных работах [81], бордизм  представляет собой -мерное многообразие, границей которого является размеченное объединение ()-мерных многообразий  и . Вот несколько бордизмов в случае :

Композиция бордизмов осуществляется при помощи «склеивания» «входа» одного из них с «выходом» другого. Так, в предыдущем примере композиция бордизмов  имеет вид:

Не менее важна в физике категория, объектами которой являются совокупности частиц, а морфизмами — мировые линии и их взаимодействия. Диаграммы Фейнмана представляют собой классический пример, однако «рёбра» на этих диаграммах нельзя воспринимать как траектории частиц. В качестве примера, тесно связанного с топологией, можно привести категорию .

Грубо говоря, объектом в категории  является набор точек в гиперкубе размерности , в то время как морфизмами являются «танглы» — наборы дуг и замкнутых кривых, гладко вписанных в гиперкуб размерности  так, что замкнутые кривые полностью вписаны в гиперкуб, а дуги касаются граней только своим началом и концом и начинаются только на верхней или на нижней грани гиперкуба. Если быть более точным, то танглы — это «изотопические классы» таких вложенных дуг и замкнутых кривых, то есть для них важна топология, а не геометрия. Композиция танглов осуществляется присоединением нижней стороны одного гиперкуба к верней стороне другого.

Более точные определения можно найти во многих источниках, по крайней мере для , что даёт танглы в трёхмерном кубе [42, 58, 81, 89, 97, 101]. Но поскольку лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать, ниже приводится схематичное изображение морфизма в категории :

Стоит отметить, что морфизм в категории  можно воспринимать как одномерный бордизм, вложенный в -мерный гиперкуб. Именно поэтому в некоторых отношениях категории  и  ведут себя одинаково.

К следующим двум морфизмам в категории , можно применить операцию композиции:

В результате композиции получается:

Поскольку важна только топология танглов, полученный прямоугольник можно сжать в квадрат, если необходимо.

Целесообразно рассматривать танглы, обладающие дополнительными возможностями. Например, в «ориентированном» тангле каждая дуга и замкнутая кривая имеет направление (ориентацию). Это может быть показано при помощи маленькой стрелки на каждой линии диаграммы. Применимо к физике линии соответствуют мировым линиям частиц, а стрелки обозначают направление движения частицы во времени, согласно утверждению Р. Фейнмана, что античастицы — это частицы, движущиеся назад во времени. Также можно рассмотреть «фреймовые» танглы, в которых каждая кривая заменяется «лентой». Применимо к физике это даёт возможность описать вращение каждой частицы, что особенно важно для фермионов, которые при спине ведут себя нетривиально. В математическом понимании самыми подходящими для описания танглами являются ориентированные фреймовые танглы [13, 89], поэтому именно они будут использованы при определении категории . У категории  также есть ориентированная фреймовая версия, но данный факт впоследствии не будет иметь большого значения.

Сложно оперировать категориями без отображения между ними. Отображение между категориями называется «функтором»:

Определение 3. Функтор  из категории  в категорию  является отображением, которое:

• Отображает каждый объект  в некоторый объект .

• Отображает каждый морфизм  из категории  в морфизм в категории .

Функтор должен удовлетворять следующим условиям:

• Для всех объектов  функтор сохраняет тождественные морфизмы: .

• Для произвольной пары морфизмов из категории  функтор сохраняет композицию: .

В последующих разделах будет показано, что функторы и естественные преобразования удобны для наложения на категории дополнительных структур. Функтор  можно также трактовать как «представление» категории  в . Смысл заключается в том, что функтор  может отображать объекты и морфизмы некоторой «абстрактной» категории  в объекты и морфизмы некоторой более «конкретной» категории .

Например, можно рассмотреть абстрактную группу . Это то же самое, что и категория, состоящая из одного объекта, все морфизмы которой обратимы. Объект в данном случае интереса не представляет, поэтому его можно просто обозначить , но морфизмы — это элементы , их композиция осуществляется при помощи операции умножения в группе. Тогда представление группы  на конечномерное гильбертово пространство — это то же самое, что и функтор . Таким же образом, действие группы  на множество — это то же самое, что и функтор . В обоих случаях абстрактная группа становится более конкретной.

Со времени опубликования диссертации Ф. В. Лоувера по функциональной семантике в 1963 году [69], понимание функторов в качестве представлений стало доминирующим. Однако в разных областях различна и терминология. Вслед за Ф. В. Лоувером, логики обычно называют категорию  «теорией», а функтор  называют «моделью» этой теории. Другие математики могут называть функтор  «алгеброй» теории. В данной работе под категорией  будет пониматься категория .

В физике функтор  называется «теорией». Тогда под категорией  будет пониматься либо введённая ранее категория , либо похожая категория бесконечномерных гильбертовых пространств. Например, и «конформные теории поля» [85], и топологические квантовые теории поля [8] могут рассматриваться в качестве функторов этого вида.

Если трактовать функторы как модели, то естественные преобразования являются отображениями между моделями:

Определение 4. Для заданных функторов  естественное преобразование  сопоставляет с каждым объектом  морфизм  такой, что для произвольного морфизма  в категории  уравнение  выполняется в категории . Другими словами, следующая диаграмма является коммутативной:

(Переход сначала вправо, а потом вниз даёт тот же результат, что и переход сначала вниз, а потом вправо).

Определение 5. Естественным изоморфизмом между функторами  называется такое естественное преобразование , что  является изоморфизмом для каждого объекта .

Например, пусть  — функторы, причём категория  является группой, то есть категорией с одним объектом, например . Тогда, как уже было сказано, функторы  и  являются представлениями группы  в гильбертовых пространствах  и . Естественным преобразованием  в данном случае является переплетающий оператор из одного представления в другое, то есть линейный оператор , который удовлетворяет условию  для всех элементов группы .