
- •Введение
- •1. Элементы теории множеств
- •1.1. Основные понятия и определения теории множеств
- •1.2. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна
- •1.3. Мощность множества
- •1.4. Взаимно однозначное соответствие между множествами
- •1.5. Счетные и несчетные множества
- •Задачи и упражнения
- •2. Элементы теории отношений
- •2.1. Бинарные отношения. Свойства отношений
- •2.2. Отношение эквивалентности и разбиения
- •2.3. Отношения порядка. Диаграмма Хассе
- •Задачи и упражнения
- •3.Функции, отображения и операции
- •4. Элементы теории графов
2.3. Отношения порядка. Диаграмма Хассе
Отношение
эквивалентности является обобщением
отношения равенства: эквивалентные
элементы считаются «равными». Обобщением
обычного отношения
служат отношения порядка.
Отношение
называется предпорядком или квазипорядком,
если R
рефлексивно и транзитивно.
Пример. Отношение
R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(1,3)}
на множестве X={1,2,3} является предпорядком.
Рефлексивное,
антисимметричное, транзитивное отношение
называется отношением нестрогого
порядка и обозначается символом
.
Антирефлексивное,
антисимметричное, транзитивное
отношение называется отношением
строгого порядка и обозначается
символом
.
Отношения строгого и нестрогого порядков
иначе называют отношениями упорядоченности.
Отношение, обратное отношению
упорядоченности, также является
отношением упорядоченности, т.е. (
)
=
.
Примеры:
1.
Пусть Y
– некоторое множество, тогда отношение
включения
на множестве всех подмножеств P(Y)
является отношением нестрогого порядка.
2. Отношение «х старше у» на некотором множестве людей является отношением строгого порядка.
Множество Х с заданным в нем отношением порядка называется упорядоченным этим отношением. Если любые два элемента х и у множества Х находятся между собой в отношении порядка, то множество Х называется линейно упорядоченным или цепью, иначе множество Х называется частично упорядоченным. В частично упорядоченном множестве можно выделить цепь. Цепь с повторяющимися элементами называется мультицепью. Если между элементами х и у установлено отношение порядка, то они называются сравнимыми, иначе – несравнимыми. Антицепью (семейством Шпернера) называется подмножество частично упорядоченного множества, в котором любые два элемента несравнимы.
Специальным
типом частично упорядоченного множества
является интервал |x,y]={zX|x
z
у}
(замкнутый) или (x,y)P={z
X|x
z
у}
(открытый).
Двойственным к частично упорядоченному множеству называется частично упорядоченное множество, определенное на том же носителе с помощью обратного отношения. Это понятие лежит в основе принципа двойственности, который часто формулируют в виде: если некоторое утверждение справедливо для частично упорядоченных множеств, то справедливо и двойственное утверждение, то есть утверждение, касающееся двойственных частично упорядоченных множеств.
Рассмотрим
множество Х
с заданным на нем отношением частичного
порядка
.
Говорят,
что элемент
y
покрывает элемент x,
если ху
и не существует никакого элемента z
X,
такого что х
z
у.
Таким образом, у
покрывает
х
тогда и только тогда, когда х
у
и [х,у]={х,у}.
Любое частично упорядоченное множество
можно представить в виде схемы. Диаграммой
Хассе частично
упорядоченного множества Х
называется граф, вершинами которого
являются элементы множества X,
а пара (х,у)
образует ребро, если элемент у
покрывает элемент х,
и такой что, если х
у,
то у
рисуют с большей вертикальной координатой
чем х.
Пример.
Отношение включения
на булеане Р(Х),
где Х={а,
b, с}. Оно
является частично упорядоченным
множеством. Множество Р(Х)
содержит восемь элементов: {
,
{a},
{b},
{c},
{a,b},
{a,c},
{b,c},
{a,b,c}}.
Диаграмма Хассе для этого отношения
будет иметь вид (рис. 2.2).
Рис.
2.2
Правило
чтения диаграмм Хассе состоит в том,
что ху,
если можно пройти из точки х
в точку у,
следуя вдоль восходящих отрезков
соединяющих точки. Смена направления
движения разрешается только в точках
диаграммы.
Пример.
Пусть А={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Рассмотрим
отношение частичного порядка ≤ на этом
множестве, задаваемое по правилу: x≤y
y
делится на x.
Диаграмма Хассе изображена на рис.2.3.
Заметим, что диаграммы Хассе этих двух отношений совпадают
Пусть Х и Y два частично упорядоченных множества. Если их диаграммы Хассе совпадают, то эти частично упорядоченные множества имеют одинаковую структуру.
Пример.
На рис. 2.4 изображена диаграмма Хассе
линейно упорядоченного множества Х={0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} с обычным отношением порядка
(≤) на множестве натуральных чисел, не
превосходящих семи.
Рис. 2.3 Рис. 2.4
Пусть
задано частично упорядоченное множество
X.
Для элементов х
и у
из множества Х
их верхней
гранью
называется любой элемент zХ
такой, что
и
,
а их нижней
гранью –
любой элемент t
X,
такой, что
х
и t
у.
На языке диаграмм Хассе х
у
означает, что существует путь из x
в y;
верхняя грань x
и y
– это вершина, в которую есть путь из
x
и y;
нижняя грань x
и y
– это вершина из которой есть путь и в
x
и в y.
В общем случае для некоторых элементов
верхняя и нижняя грань может не
существовать или быть неединственной,
причем различные верхние (или нижние)
грани могут быть несравнимы.
Пример.
На рис. 2.5 а) изображена диаграмма Хассе
множества
,
у которого элементы
не имеют верхней грани, а элементы
– нижней грани. На рис. 2.5 б) изображена
диаграмма Хассе множества
у которого все элементы имеют верхние
и нижние грани, однако, например,
и
имеют
две несравнимые верхние грани.
Рис. 2.5