4.2. Китайская теорема об остатках

Рассмотрим более детально формулу (4.1), задающую ДПФ над полем . Например, для того, чтобы вычислить ДПФ над полем вектора длины, требуется умножений в поле. Как известно, умножение является одной из наиболее затратных по времени операций, т.е. алгоритм ДПФ имеет сложность порядка O(. Известные алгоритмы многомерного преобразования Фурье, а так же БПФ (быстрое преобразование Фурье) позволяют снизить эту цифру до N*logN умножений. Данные алгоритмы основаны на следующей китайской теореме об остатках.

Теорема 4.2.1. (Китайская теорема об остатках, единственность)

Для заданного множества целых положительных попарно взаимно-простых чисели множества неотрицательных целых чисел

при, система сравнений

имеет не более одного решенияc в интервале

Теорема 4.2.2. (Китайская теорема об остатках, существование)

Пусть –произведение целых положительных попарно взаимно-простых положительных чисел, пусть и пусть удовлетворяют равенству , тогда единственным решением системы сравнений

будет

Эта теорема позволяет каждое число n,0≤n<M однозначно задать системой остатков по модулям , i=1,k.

4.3. Трехмерное преобразование Фурье в поле

_{Рассмотрим ДПФ длины} N=255, ядром которого является примитивный элемент поля _.

(1)

В этом случае, М=255=3517, =3, = 5, =17, так что n(, , ), где

, ,

(2)

Произвольный ненулевой элемент поля ) задается как степень примитивного элемента поля: = ,

Согласно (2)

(3)

= (,

, =, ==,

Где приняты обозначения: =, =,=

Более того, в силу попарной взаимной простоты модулей , если i(, ,) и j(, , ), то ij(, , ). Таким образом, формулу (4.1) определяющую ДПФ, можно переписать в виде:

(4)

, =, =

Это сразу подсказывает следующий алгоритм вычисления вектора по вектору . Сначала разбиваем координаты вектора на тройки чисел (прификсированных и ) и к каждой из них применяем 3-точечное преобразование с ядром =; это дает набор из 255 величин

(5)

, =, =.

Затем к этому вектору длины 255 применяется 5-точечное ДПФ с ядром = по правилу: координаты вектора группируются по 5 чисел (по фиксированным и ) и для каждой такой совокупности вычисляется 5-мерный вектор ,

(6)

, =, =.

Наконец, к вектору длины 255 применяется 17-точечное ДПФ с ядром =, приводящее к искомому 255-мерному вектору :

(7)

, =, =.

(8)

Описанный алгоритм вместо умножений при прямом вычислении по формуле (4.1) требует

(9)

умножений, где - число умножений, необходимое для выполнения i-точечного ДПФ, i=3,5,17. Аналогично выписывается и формула для числа сложений (кстати, напомним, что характеристика рассматриваемого поля равна 2, так что вычитание совпадает со сложением)

Экспериментально установлено, что переход от одномерной структуры к трехмерной, уменьшает время, требуемое на вычисление ДПФ примерно в 10 раз.

Таким образом, переход от ДПФ длины 255 к ДПФ длин 3, 5 и 17, каждое из которых вычисляется 255 раз в цикле, очень существенно понижает вычислительную сложность алгоритма.

Следующий наш шаг – полностью избавиться от ДПФ внутри циклов, заменив их на БПФ (быстрое преобразование Фурье) длин 3, 5 и 17, которые основаны как на свойствах поля , так и на свойствах алгоритмов быстрого умножения многочленов, заданных над конечным полем.