8. Определить функцию плотности распределения вероятности системы двух с. В. И ее основные свойства. Привести геометрическую интерпретацию, указать практическое применение.

Плотностью распределения случайных величин (X,Y) определяется соотношением:

, если предел существует.

Свойства плотности распределения:

1. ;

2. ;

3. 

4. , где f_x(x) и f_y(y) – плотности распределения слу.вел. X и Y

5. 

Геометрически - некая поверхность

9. Определить нормальный закон распределения с.В. И обосновать его широкое применение в моделях ткс.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

С помощью интеграла Пуассона:

M(x)=m_x;D(x)=σ_x²

• Свойства:

• Кривая обладает симетрией относительно одинаты в точке m_x

• В точке m_x кривая имеет максимум

• При |x|->∞ ветвь кривой асимитьтически приближается к оси OX

• Изминение m_x приводит к смещению вдоль оси OX

Для вычисления вероятности попадания используется интеграл Лапласа

Разброс нормального распределения вокруг своего среднего значения не может превышать 3σ_x

11. Проанализировать график функции плотности вероятности с.В. С нормальным законом распределения. Сформулировать правило «трех сигм» и указать его »фактическое применение в задачах анализа ткс.

Правило 3-х сигм: Вероятность того,что случайная величина x отклонится от своего математического ожидания на величину, большую чем утроенное среднее квадратическое отклонение, практически равна 0. Если для какой-либо слу.вел. выполняется правило 3-х сигм, то она имеет нормальное распределение.

Для дискретной случайной величины, производные в точках разрыва функции распределения не существуют. Однако плотность распределения такой случайной величины можно представить как совокупность d - функций разной интенсивности в точках разрыва функции распределения, т.е. таких d - функций, площадь каждой из которых (интеграл от d - функции) равняется соответствующему скачкообразному приращению функции распределения вероятностей.

Приведем примерные графики плотности распределения ранее представленных функций распределения:

Стрелочками изображены d - функции в точках разрыва функции распределения

12. Определить распределение Рэлея и его основные параметры. Привести пример использования этой модели при проектировании систем радиосвязи.

Распределением Релея случайной величины или релеевской плотностью распределения вероятностей называется плотность распределения, которая описывается функцией:

(12.1)

Эту плотность распределения вероятностей ввел лорд Релей в 1880г. при рассмотрении огибающей суммы ряда гармонических колебаний разной частоты. В частности, можно показать, что плотность вероятностей амплитудных значений (т.е. огибающих) узкополосных случайных напряжений или тока, распределенных по нормальному закону, подчиняются релеевскому закону. Верен и общий случай. Пусть X и Y – назависимые гауссовские случайные величины с M(X)=M(Y)=0 и . Случайная величина будет иметь распределение Релея (12.1).

График релеевской плотности имеет вид:

Определим числовые характеристики релеевской случайной величины – математическое ожидание и дисперсию: