47. Мода и медиана случайной величины. Начальные и центральные моменты случайной величины. Математическое ожидание центрированной случайной величины

Модой с.в. называется наиболее вероятное значение с.в., т.е. для которого вероятность или плотность распределения достигает максимума.

Экспериментальные аналоги моды: для дискретной с.в.Х – то значение, которое в данной серии опытов встречается чаще всего; для непрерывной с.в. – центр того элементарного интервала, для которого плотность

частоты достигает максимума.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое её значение , для которого .

Геометрически медиана – это абсцисса той точки на оси , для которой площади лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны 1/2.

Начальным моментом S-го порядка с.в.Х называется математическое ожидание S-ой степени этой величины

Для дискретной с.в.Х начальный момент S-го порядка выражается суммой

, для непрерывной - интегралом

, где - плотность распределения.

Центрированной с.в.Х называют отклонение с.в. от её математического ожидания, т.е.

.

математическое.ожидание центрированной с.в.= 0.

Моменты центрированной с.в. называются центральными моментами

Центральным моментом S-го порядка с.в.Х называется математическое ожидание S-ой степени центрированной с.в.

;

Для дискретной с.в. , для непрерывной- .

48. Дисперсия случайной величины. Дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее математического ожидания:

Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:

а) для дискретной с.в.

б) для непрерывной с.в.

Для вычислении дисперсии использ. ф-лой:

;

свойство дисперсии:

Таким образом мы получили, что дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины Х, а удобно иметь характеристику разброса случайной величины относительно своего среднего значения такой же размерности как Х. С этой целью вводят среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, обозначаемое , как .

Эту величину еще называют стандартным отклонением. Для неотрицательной с.в.Х в качестве характеристики применяется коэффициент вариации, равный отношению с.к.о. к мат.ожиданию

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: ,

что очевидно, т.к. .

2. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате:.

Действительно,

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин X и Y равна

сумме дисперсий:

4)

5) ;

Действительно,

49. Коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины.

Коэффицие́нт асимметри́и в теории вероятностей — величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины.

Пусть задана случайная величина X, такая что E|X|³<∞. Пусть μ₃ обозначает третий центральный момент: , а — стандартное отклонение X. Тогда коэффициент асимметрии задаётся формулой: .

Коэффицие́нт эксце́сса (коэффициент островершинности) в теории вероятностей — мера остроты пика распределения случайной величины.

Пусть задана случайная величина X, такая что E|X|⁴<∞.. Пусть μ₄ обозначает четвёртый центральный момент: , а— стандартное отклонение X. Тогда коэффициент эксцесса задаётся формулой: .