
- •1. Центральная предельная теорема теории вероятностей и ее практическое использование в задачах синтеза ткс.
- •2. Теорема Чебышева и ее практическое использование в задачах анализа ткс.
- •3. Определить понятие системы случайных величин. Дать определение зависимых случайных величии. Привести критерии независимости двух с. В., используемые практически.
- •5. Определить основные свойства с.В, имеющей равномерное распределение.
- •6. Обосновать использование такой с.В. Для получения белого шума.
- •7. Определить функцию распределения системы двух с. В и ее основные свойства. Привести геометрическую интерпретацию, указать практическое применение.
- •8. Определить функцию плотности распределения вероятности системы двух с. В. И ее основные свойства. Привести геометрическую интерпретацию, указать практическое применение.
- •9. Определить нормальный закон распределения с.В. И обосновать его широкое применение в моделях ткс.
- •11. Проанализировать график функции плотности вероятности с.В. С нормальным законом распределения. Сформулировать правило «трех сигм» и указать его »фактическое применение в задачах анализа ткс.
- •12. Определить распределение Рэлея и его основные параметры. Привести пример использования этой модели при проектировании систем радиосвязи.
- •13. Определить логарифмически-нормальное распределение с.В и его параметры. Привести пример использования этой модели в сфере телекоммуникаций.
- •16. Проанализировать зависимость закона Пуассона и биномиального закона распределения с. В. Показать использование этой зависимости на практике.
- •18. Привести классификацию случайных явлений. Определить понятие случайного событие и дать определение пространства случайных событий.
- •19. Привести классификацию случайных явлений. Дать определение случайной величины и проанализировать связь с пространством случайных событий.
- •20. Определить вероятность случайного события. Сформулировать основные аксиомы и законы теории вероятностей.
- •21. Обосновать многообразие методов определения вероятности случайного события, дать рекомендации по их применению.
- •22. Определить цель задачи курса. Обосновать необходимость использования вероятностных моделей и методов в практике инженеров телекоммуникаций.
- •23. Дать определение взаимно корреляционной функции двух случайных процессов и привести основные свойства.
- •24. Дать определение корреляционной функции случайного процесса и привести основные свойства.
- •25. Определение и способы описания случайных процессов. Закон распределения случайного процесса.
- •26. Основные характеристики случайного процесса. Классификация случайных процессов.
- •30. Определение множества. Конечные, бесконечные множества. Мощность множества. Множества и подмножества.
- •31. Способы задания множеств. Операции над множествами.
- •32. Основные свойства алгебры множеств.
- •33. Основной принцип комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.
- •34. Что изучает теория вероятностей? Основные этапы формирования теории вероятностей, как науки.
- •35. Случайное событие. Классификация событий. Элементарное событие. Пространство элементарных событий.
- •36. Случайное событие, как множество элементарных событий. Алгебра событий.
- •38. Способы задания вероятностей.
- •39. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса).
- •40. Зависимые и независимые случайные события.
- •41. Вероятность события в испытаниях Бернулли. Формула Пуассона.
- •41)[Стр2] Если ставить вопрос о появлении события а k-раз в n испытаниях в произвольном порядке, то событие представимо в виде
- •42. Понятие случайной величины. Классификация случайных величин. Примеры случайных величин.
- •43. 3Акон распределения случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины.
- •44. Функция распределения случайной величины, ее свойства. Функция распределения дискретной и непрерывной случайной величины.
- •45. Функция плотности распределения вероятности, ее свойства
- •46. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания
- •47. Мода и медиана случайной величины. Начальные и центральные моменты случайной величины. Математическое ожидание центрированной случайной величины
- •48. Дисперсия случайной величины. Дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины.
- •Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате:.
- •49. Коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины.
- •Свойства коэффициента эксцесса
- •Смысл коэффициента
45. Функция плотности распределения вероятности, ее свойства
Плотность вероятности, плотность распределения вероятностей случайной величины X, - функция p(x) такая, что
и при любых a<b
вероятность события a<x<b равна
.
Если p(x) непрерывна,
то при достаточно малых ∆x вероятность
неравенства x<X<x+∆x приближенно равна
p(x)•∆x (с точностью до малых более
высокого порядка). Функция распределения
F(x) случайной величины x, связана с
плотностью распределения соотношениями
и,
если F(x) дифференцируема
Смысл плотности
распределения вероятностей лучше понять
через элемент плотности
.
Его можно записать в виде
Это соотношение
утверждает, что элемент вероятности
есть вероятность того, что случайная
величина Х лежит в интервале между
и
.
Из определения плотности распределения
вероятностей следуют следующие ее
свойства:
;
;
.
Для дискретной случайной величины, производные в точках разрыва функции распределения не существуют. Однако плотность распределения такой случайной величины можно представить как совокупность d - функций разной интенсивности в точках разрыва функции распределения, т.е. таких d - функций, площадь каждой из которых (интеграл от d - функции) равняется соответствующему скачкообразному приращению функции распределения вероятностей.
46. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания
Среди числовых характеристик случайной величины прежде всего рассмотрим характеристики положения, фиксирующие положение свободной величины на числовой оси, к которым относятся математическое ожидание, мода и медиана.
Рассмотрим
дискретную случайную величину.
Пусть дискретная случайная величина X
принимает значения
и вероятность принятия случайной
величиной значения
равна
.
Интуитивно ясно, что при наблюдении
случайной величины X в n (n>>1) повторных
независимых экспериментах значение
появится примерно
раз. Таким образом, среднее значение
этой величины , подсчитанное по n
экспериментам , есть примерно
.
Поэтому математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины X называется число
.
Если
и ряд
сходится абсолютно, математическим
ожиданием является величина
.
Основные свойства математического ожидания.
если
,
то
.
Математическое
ожидание постоянной величины равно
самой постоянной:
.
Постоянный множитель
можно выносить за знак математического
ожидания:
.
Действительно,
.
Математическое ожидание от суммы случайных величин X и Y равно
сумме математический ожиданий:
Свойства 2), 3) определяют линейность операции математического ожидания.
Если
,
то
Свойства 5), 6) очевидны.
Если случайные
величины X и Y независимы, то
С помощью введенной
плотности распределения вероятностей
легко получить математическое ожидание
для непрерывной случайной величины.
Действительно, разбив интервал изменения
случайной величины на маленькие
интервалы
и, так как приближенно
равно вероятности того, что случайная
величина Х примет значение
, то можно для непрерывной случайной
величины Х математическое ожидание
записать в виде
.
Правая часть этого
выражения представляет интегральную
сумму, поэтому, переходя к пределу
,
получаем
.