16. Алгоритм плавающего горизонта.

Из презентации:

Удаление невидимых линий трёхмерного представления функции, описывающих поверхность в виде F(x, y, z) = 0

• Изображение поверхности сводится к изображению последовательности секущих при постоянных значениях z.

• F(x, y, z) = 0 приводится к виду y=f(x,z) или x=g(y,z)

• Удаление невидимой линии:

  • Если для текущего значения z, при некотором x значение y больше значений y для всех предыдущих кривых при том же x, то текущая кривая видима в точке (x, y), иначе – не видима.

  • Добавляется «нижний» горизонт

• Плавающий горизонт – два массива (по значениям x), задающих минимальное и максимальное значения y при различных z.

  • Зазубренные боковые рёбра. Чтобы их избежать, добавляют мнимые боковые рёбра

Алгоритм Робертса

На входе – n тел. Требуется отрисовать их с удалением невидимых линий

1. Определение нелицевых граней для каждого тела. Из каждого тела удаляются те рёбра и грани, которые экранируются самим телом.

2. Определение и удаление невидимых рёбер. Каждое из видимых рёбер каждого тела сравнивается с каждым из оставшихся тел для выделения видимой части.

• Сложность алгоритма растёт как квадрат от количества тел.

• Работает в объектном пространстве.

• Требуется, чтобы все тела были выпуклы.

• Тело представляется набором плоскостей – своих граней.

• Грани задаются коэффициентами уравнения a x + b y + c z + d = 0.

• Всё тело – матрицей размера 4 x n.

Алгоритм Кэтмула

• Работает в пространстве изображения.

• Использует z-буфер.

Далее из интернета:

Алгоритм плавающего горизонта можно отнести к классу алгоритмов, работающих в пространстве изображения. Алгоритм плавающего горизонта чаше всего используется для удаления невидимых линий трехмерного представления функций, описывающих поверхность в виде

F(x, у, z) = 0.

Подобные функции возникают во многих приложениях в математике, технике, естественных науках и других дисциплинах.

Главная идея данного метода заключается в сведении трехмерной задачи к двумерной путем пересечения исходной поверхности последовательностью параллельных секущих плоскостей, имеющих постоянные значения координат х, у или z.

На рис. 5.2. приведен пример, где указанные параллельные плоскости определяются постоянными значениями z. Функция F(x,у,z) = 0 сводится к последовательности кривых, лежащих в каждой из этих параллельных плоскостей, например к последовательности у=f(x,z) или х=g(у,z), где z постоянно на каждой из заданных параллельных плоскостей.

Рис. 5.2. Секущие плоскости с постоянной координатой

Итак, поверхность теперь складывается из последовательности кривых, лежащих в каждой из этих плоскостей, как показано на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Секущие плоскости с постоянной координатой

Алгоритм сначала упорядочивает плоскости z = const по возрастанию расстояния до них от точки наблюдения. Затем для каждой плоскости, начиная с ближайшей к точке наблюдения, строится кривая, лежащая на ней, т. е. для каждого значения координаты х в пространстве изображения определяется соответствующее значение y. Алгоритм удаления невидимой линии заключается в следующем.

Если на текущей плоскости при некотором заданном значении x соответствующее значение у на кривой больше значения y для всех предыдущих кривых при этом значении x, то текущая кривая видима в этой точке; в противном случае она невидима.

Невидимые участки показаны пунктиром на рис. 5.4. Реализация данного алгоритма достаточно проста. Для хранения максимальных значений y при каждом значении x используется массив, длина которого равна числу различимых точек (разрешению) по оси x в пространстве изображения. Значения, хранящиеся в этом массиве, представляют собой текущие значения "горизонта". Поэтому по мере рисования каждой очередной кривой этот горизонт "всплывает". Фактически этот алгоритм удаления невидимых линий работает каждый раз с одной линией.

Алгоритм работает очень хорошо до тех пор, пока какая-нибудь очередная кривая не окажется ниже самой первой из кривых, как показано на рис. 5.5., а.

Рис. 5.5. Обработка нижней стороны поверхности

Подобные кривые, естественно, видимы и представляют собой нижнюю сторону исходной поверхности, однако алгоритм будет считать их невидимыми. Нижняя сторона поверхности делается видимой, если модифицировать этот алгоритм, включив в него нижний горизонт, который опускается вниз по ходу работы алгоритма. Это реализуется при помощи второго массива, длина которого равна числу различимых точек по оси x в пространстве изображения. Этот массив содержит наименьшие значения y для каждого значения x. Алгоритм теперь становится таким: если на текущей плоскости при некотором заданном значении x соответствующее значение y на кривой больше максимума или меньше минимума по y для всех предыдущих кривых при этом значении x, то текущая кривая видима. В противном случае она невидима.

Полученный результат показан на рис. 5.5., б.

В изложенном алгоритме предполагается, что значение функции, т. е. y, известно для каждого значения x в пространстве изображения. Однако если для каждого значения х нельзя указать (вычислить) соответствующее ему значение y, то невозможно поддерживать массивы верхнего и нижнего плавающих горизонтов. В таком случае используется линейная интерполяция значений y между известными значениями для того, чтобы заполнить массивы верхнего и нижнего плавающих горизонтов.

Изложенный алгоритм приводит к некоторым дефектам, когда кривая, лежащая в одной из более удаленных от точки наблюдения плоскостей, появляется слева или справа из-под множества кривых, лежащих в плоскостях, которые ближе к указанной точке наблюдения. Этот эффект продемонстрирован на рис. 5.6., где уже обработанные плоскости n-1 и n расположены ближе к точке наблюдения. На рисунке показано, что получается при обработке плоскости n+1. После обработки кривых n-1 и n верхний горизонт для значений x = 0 и x = 1 равен начальному значению y; для значений x от 2 до 17 он равен ординатам кривой n; а для значений 18, 19, 20 - ординатам кривой n-1. Нижний горизонт для значений x = 0 и x = 1 равен начальному значению y; для значений x = 2, 3, 4 - ординатам кривой n; а для значений x от 5 до 20 - ординатам кривой n-1. При обработке текущей кривой (n+1) алгоритм объявляет ее видимой при x = 4. Это показано сплошной линией на рис. 5.6. Аналогичный эффект возникает и справа при х = 18. Такой эффект приводит к появлению зазубренных боковых ребер. Проблема с зазубренностью боковых ребер решается включением в массивы верхнего и нижнего горизонтов ординат, соответствующих штриховым линиям на рис. 5.6. Это можно выполнить эффективно, создав ложные боковые ребра.

Рис. 5.6. Эффект зазубренного ребра

Если функция содержит очень острые участки (пики), то приведенный алгоритм также может дать некорректные результаты. Этот эффект вызван вычислением значений функции и оценкой ее видимости на участках, меньших, чем разрешающая способность экрана, т. е. тем, что функция задана слишком малым количеством точек. Если встречаются узкие участки, то функцию следует вычислять в большем числе точек.

Вариант 2 ответа на вопрос

Рассмотрим задачу построения графика функций двух переменных z=f(x,y) в виде сетки координатных линий x=const и y=const.

Заметим, что каждая линия семейства z=f(x,y_i) лежит в своей плоскости y=y_i, причем эти плоскости параллельны и, следовательно, не пересекаются. Поэтому при y_j>y_iлиния z=f(x,y_j) не может закрывать линию z=f(x,y_i).

Тогда возможен следующий алгоритм построения графика функции z=f(x,y):

Линии рисуются в порядке удаления (возрастания по y) и при рисовании очередной линии рисуется только та ее часть, которая не закрывается ранее нарисованными линиями. Такой алгоритм называется методом плавающего горизонта.

Для определения частей линии z=f(x,y_k), которые не закрывают ранее нарисованные линии, вводятся линии горизонта или контурные линии.

Пусть проекцией линии z=f(x,y_k) на картинную плоскость является линия Y=Y_k(X), где (X,Y) – координаты на картинной плоскости. Контурные линии Y^k_max(X) и Y^k_min(X)определяются следующими соотношениями:

• Y^k_max(X)=max Y_i(X),

• Y^k_min(X)=min Y_i(X), где 1<=k<=k-1

На экране рисуются только те части линии Y=Y_k(X), которые находятся выше линии Y^k_max(X) или ниже линии Y^k_min(X).

Одной из наиболее простых и эффективных реализации данного метода является растровая реализация, при которой в области задания вводится сетка

{ (x_j,y_j), i=1, , n_i }

и каждая из линий Y=Y_k(X) представляется в виде ломаной. Для рисования сегментов этой ломаной используется модифицированный алгоритм Брезенхейма, который перед выводом очередного пиксела сравнивает его ординату с верхней и нижними контурными линиями, представляющими в этом случае массивы значений ординат.