12. Алгоритм Брезенхэма

Алгоритм Брезенхэма - это алгоритм, определяющий, какие точки двумерного растра нужно закрасить, чтобы получить близкое приближение прямой линии между двумя заданными точками. Это один из старейших алгоритмов в машинной графике — он был разработан Джеком Е. Брезенхэм компании IBM в 1962 году. Алгоритм широко используется, в частности, для рисования линий на экране компьютера. Существует обобщение алгоритма Брезенхэма для построения кривых 2-го порядка.

Более подробно про растровые алгоритмы, к которым относится данный алгоритм смотри в вопросе №13.

Алгоритм:

Отрезок проводится между двумя точками — (x₀,y₀) и (x₁,y₁), где в этих парах указаны колонка и строка, соответственно, номера которых растут вправо и вниз. Сначала мы будем предполагать, что наша линия идёт вниз и вправо, причём горизонтальное расстояние x₁ − x₀ превосходит вертикальное y₁ − y₀, т.е. наклон линии от горизонтали — менее 45°. Наша цель состоит в том, чтобы для каждой колонки x между x₀ и x₁, определить, какая строка y ближе всего к линии, и нарисовать точку (x,y).

Общая формула линии между двумя точками:

Поскольку мы знаем колонку x, то строка y получается округлением к целому следующего значения:

Однако, вычислять точное значение этого выражения нет необходимости. Достаточно заметить, что y растёт от y₀ и за каждый шаг мы добавляем к x единицу и добавляем к y значение наклона

которое можно вычислить заранее. Более того, на каждом шаге мы делаем одно из двух: либо сохраняем тот же y, либо увеличиваем его на 1.

Что из этих двух выбрать — можно решить, отслеживая значение ошибки, которое означает — вертикальное расстояние между текущим значением y и точным значением y для текущего x. Всякий раз, когда мы увеличиваем x, мы увеличиваем значение ошибки на величину наклона s, приведённую выше. Если ошибка превысила 0.5, линия стала ближе к следующему y, поэтому мы увеличиваем y на единицу, одновременно уменьшая значение ошибки на 1. В реализации алгоритма, приведённой ниже, plot(x,y)рисует точку, а abs возвращает абсолютную величину числа:

function line(x0, x1, y0, y1)

int deltax := abs(x1 - x0)

int deltay := abs(y1 - y0)

real error := 0

real deltaerr := deltay / deltax

int y := y0

for x from x0 to x1

plot(x,y)

error := error + deltaerr

if error >= 0.5

y := y + 1

error := error - 1.0

Проблема такого подхода — в том, что с вещественными величинами, такими как error и deltaerr, компьютеры работают относительно медленно. Кроме того, при вычислениях с плавающей точкой может накапливаться ошибка. По этим причинам, лучше работать только с целыми числами. Это можно сделать, если умножить все используемые вещественные величины на deltax. Единственная проблема — с константой 0.5 — но в данном случае достаточно умножить обе части неравенства на 2. Получаем следующий код:

function line(x0, x1, y0, y1)

int deltax := abs(x1 - x0)

int deltay := abs(y1 - y0)

int error := 0

int deltaerr := deltay

int y := y0

for x from x0 to x1

plot(x,y)

error := error + deltaerr

if 2 * error >= deltax

y := y + 1

error := error - deltax

Умножение на 2 для целых чисел реализуется битовым сдвигом влево.

Теперь мы можем быстро рисовать линии, направленные вправо-вниз с величиной наклона меньше 1. Осталось распространить алгоритм на рисование во всех направлениях. Это достигается за счёт зеркальных отражений, т.е. заменой знака (шаг в 1 заменяется на -1), обменом переменных x и y, обменом координат начала отрезка с координатами конца.

Из презентации:

Отрезок от A(x_a, y_a) до B(x_b, y_b)

0  y_b- y_a  x_b- x_a, k=(y_b- y_a) / (x_b- x_a) y = y_a+ k (x – x_a)

procedure line(xa,ya,xb,yb:integer);

var k,y : double;

begin

k:=(yb-ya)/(xb-xa);

y:=ya;

for i:=xa to xb do begin

put(x,round(y)); y:=y+k

end;

end;