2.3 Решение задачи симплекс-методом

Математическая модель задачи имеет вид:

W’ = 9* х₁ + 8* х₂ + 10* х₃ → max

251 – 0,22* х₁ - 0,21*х₂ - 0,31*х₃ ≥ 0

301 - 0,17* х₁ - 0,15*х₂ - 0,12*х₃ ≥ 0

321 - 0,25*х₁ - 0,20*х₂ - 0,15* х₃ ≥ 0

Для упрощения расчетов ограничения (1.1) заменяем условием неотрицательных переменных: х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0; х₃ ≥ 0.

Перейдем к минимизации целевой функции W’, изменив знаки всех ее коэффициентов на противоположные, и к ограничениям в виде равенств, введя дополнительные переменные:

W = -9* х₁ - 8* х₂ - 10* х₃ → min

y₁ = 251 - 0,22* х₁ - 0,21*х₂ - 0,31*х₃;

y₂ = 301 - 0,17* х₁ - 0,15*х₂ - 0,12*х₃;

y₃ = 321 – 0,25*х₁ - 0,20*х₂ - 0,15* х₃;

где х_1, х_2, х_3, y_1, y_2, y₃ – неотрицательны.

Сведем к задаче линейного программирования:

W = 0 - (9* х₁ + 8* х₂ + 10* х₃); (1.7)

y₁ = 251 – (0,22* х₁ + 0,21*х₂ + 0,31*х₃);

y₂ = 301 – (0,17* х₁ + 0,15*х₂ + 0,12*х₃); (1.8)

y₃ = 321– (0,25*х₁ + 0,20*х₂ + 0,15* х₃);

Составим таблицу, состоящую из коэффициентов целевой функции (1.7) и системы ограничений (1.8).

Таблица 2

Базисная переменная	Свободный член	Свободные переменные
		х1	х2	х3
y1	251	0,22	0,21	0,31
y2	301	0,17	0,15	0,12
y3	321	0,25	0,20	0,15
W	0	9	8	10

В качестве разрешающего столбца выбираем х₂. В столбце найдем разрешающий элемент путем сравнения соотношений 251/0,21; 301/0,15; 321/0,20.

Наименьшее из соотношений (251/0,21 = 1195) будет определять разрешающий элемент. Им будет элемент 0,21 находящийся на пересечении столбца х₂ и строки y₁. Этот элемент обводится.

Затем вычисляем обратную величину разрешающего элемента λ = 1/0,21 = 4,76 и записывают её в нижней части той же ячейки, в которой находится разрешающий элемент. Все элементы разрешающей строки умножаем на λ. Затем все элементы разрешающей графы умножают на (-λ), результаты записываются в нижней части соответствующих ячеек.

Подчеркивают в разрешающей строке все верхние числа (251, 0,22, 0,31), а в разрешающей графе – все нижние числа (-0,72, -0.95, -38.10) за исключением λ. Для каждого из элементов, не принадлежащих ни к разрешающей строке, ни к разрешающей графе, записывают в нижней части соответствующей ячейки произведения подчеркнутых чисел, стоящих в той же строке и в той же графе, что и данный элемент.

Таблица 3

Базисная переменная	Свободный член	Свободные переменные
		х1	x2	х3
Y1	251 1195	0,22 1,05	0,21 4,76	0,31 1,48
Y2	301 -180,72	0,17 -0,16	0,15 -0,72	0,12 -0,22
Y3	321 -238,45	0,25 -0,21	0,20 -0,95	0,15 -0,30
W	0 -9563,1	9 -8,38	8 -38,10	10 -11,81

Переписываем таблицу, поменяв местами свободную переменную х₂ и базисную Y₁, а элементы разрешающей строки и разрешающей графы меняют на числа, стоящие в нижних частях соответствующих ячеек, каждый из остальных элементов – на сумму чисел, стоящих в верхней и нижних частях той же ячейки.

Так как в строке W есть положительный элемент 0,619, то оптимальное решение еще не получено и решение продолжается в вышеизложенной последовательности, начиная с отыскания разрешающего элемента, разрешающим элементом будет 1,05, обмениваемые переменные x1 и x2. Промежуточные расчеты приведены в таблице 4.

Таблица 4

Базисная переменная	Свободный член	Свободные переменные
		x1	y1	х3
X2	1195 1135	1,05 0.95	4,76 4.52	1,48 1.41
Y2	120,28 -10.75	0,01 -0.009	-0.72 -0.043	-0.1 -0,013
Y3	82,55 -45.41	0,04 -0.038	-0.95 -0,18	-0.15 -0,056
W	-9563,1 -705	0,62 -0.59	-38.10 -2.80	-1.81 -0.873

Заключительная таблица имеет вид:

Таблица 5

Базисная переменная	Свободный член	Свободные переменные
		Х2	Y1	х3
X1	1135	0,95	4,52	1,41
y2	109,53	-0,009	-0,76	-0,11
y3	37,14	-0,038	-1,13	-0,206
W	-10268	-0,59	-40,9	-2,68

Так как в строке W все элементы отрицательны, то оптимальное решение получено и имеет вид: x₂ = y₁ = х₃ = 0, х₁ = 1135

Значение целевой функции определим подстановкой найденных значений переменных в выражение (1.6):

W’ = 9* 1135 + 8*0 + 10* 0 = 10215 рублей.

Полученное значение 10215 тыс. рублей есть максимальная величина прибыли, которую получит предприятие, если будет выпускать продукцию П1, при условии не превышения ресурсов времени по всем типам оборудования.