4. Современное понятие вероятности

В классическом случае мы вводили множество всех равновероятных элементарных событий. Это определение оказалось слишком узким, поскольку не позволяло описать многие полезные и интересные вероятностные задачи. Теперь мы откажемся от предположения о равной вероятности всех элементарных событий. Сначала рассмотрим дискретный случай, т. е. случай, когда множество всех элементарных событий конечно или счетно.

Обозначим, как и раньше, множество всех элементарных событий , а его элементы назовем элементарными событиями. Введем для каждого элементарного события его вероятность , удовлетворяющую условиям:

и

Если событие А является подмножеством множества элементарных событий, то вероятность события A определяется равенством

Ранее рассмотренное классическое определение вероятности соответствует тому случаю, при котором , где n – общее число элементарных событий.

Перечислим основные свойства вероятности.

1. , так как состоит из всех элементарных событий.

2. Если множества элементарных событий А и В не имеют общих элементов (несовместны), то .

3. Пусть – пустое множество элементарных событий, тогда (пустое множество слагаемых).

4. , так как и А не пересекаются и в объединении дают достоверное событие ( – противоположное событие).

5. Теорема сложения вероятностей

Все эти свойства легко выводятся из определения вероятности события. Определение вероятности в общем случае сложнее, чем в дискретном.

Как и для дискретного случая, введем множество всех элементарных событий , которое теперь может быть и несчетным. К сожалению, мы не можем считать событиями все подмножества , поскольку это неизбежно приведет к противоречию. Поэтому приходится строить группу Fподмножеств , называемую σ-алгеброй событий. Далее, событиями считаются только элементы σ-алгебры F. Можно доказать, что σ-алгебру всегда можно построить так, что конечные или счетные суммы и произведения событий тоже станут событиями, кроме того, , а также дополнение любого события является событием.

Теперь предположим, что для каждого события A определена его вероятность , обладающая следующими свойствами:

1. ;

2. если события A_n попарно несовместны, причем

количество слагаемых в суммах может быть конечным или счетным;

3. .

Приведенные соотношения образуют аксиоматику Колмогорова, на которой построена вся современная теория вероятностей. Можно доказать, что свойства 1–5, сформулированные для дискретного случая, останутся справедливыми и при общем определении вероятности. В общем случае определение вероятности и вывод ее основных свойств технически сложнее, чем в дискретном. Тем не менее, почти все трудные места теории вероятностей можно проследить на дискретном случае. Поэтому, именно он в настоящем издании разобран наиболее полно.

5. Условная вероятность, независимость событий.

Условной вероятностью события A при выполнении события B называется отношение Здесь предполагается, что .

В качестве разумного обоснования этого определения отметим, что при наступлении события B оно начинает играть роль достоверного события, поэтому надо потребовать, чтобы . Роль события A играет AB, поэтому должна быть пропорциональна . (Из определения следует, что коэффициент пропорциональности равен .)