2. Пространство элементарных событий

Рассмотренные примеры и интуитивное представление о том, что такое вероятность, подсказывают, что нам предстоит ввести способ «измерения» вероятности событий из некоторой совокупности событий, определяемых конкретной задачей. Каждая задача о вычислении вероятности имеет в основе некоторый случайный эксперимент, итогом которого является одно из нескольких возможных элементарных событий. Правильное описание этих событий и придание этим событиям вероятности – важный шаг на пути решения задачи. Перейдем к математическому описанию элементарных событий.

Предполагается, что имеется некоторое множество объектов произвольной природы, называемое множеством элементарных событий или пространством элементарных событий. При помощи некоторого специального механизма случайного выбора, или рандомизации (от английского слова «random», что означает «случайный»), происходит (или может произойти) случайная реализация элементарных событий. Механизм случайного выбора может быть известен, но часто лишь предполагают, что такой механизм существует. Для облегчения понимания приведем несколько примеров пространств элементарных событий и механизмов случайного выбора.

1. Бросание монеты. Выпадение герба кодируем цифрой «1», выпадение цифры нулем («0»). Таким образом, имеется всего два собственных элементарных события «1» и «0». Механизм случайного выбора – это само бросание монеты. Предполагается, что мы организуем бросание таким образом, что шансы выпадения «1» и «0» равны.

2. Бросание двух монет. Имеется 4 элементарных события «0, 0»,«0, 1», «1, 0» и «1, 1». Механизм случайного выбора это – бросание двух монет.

3. Бросается n монет. Имеется элементарных событий, состоящих из всевозможных наборов нулей и единиц длиной n. Механизм случайного выбора – это бросание n монет.

4. Бросается игральная кость. Имеется 6 элементарных событий «1», …, «6». Механизм случайного выбора – это само бросание кости.

5. Бросается 2 игральные кости. Имеется 36 элементарных событий – «1, 1», …, «6, 6». Механизм случайного выбора – бросание 2 костей.

6. Бросается n игральных костей. Имеется элементарных событий, состоящих из всевозможных наборов цифр от 1 до 6 длиной n. Механизм случайного выбора – бросание n костей.

7. Карточки в количестве n штук с числами от 1 до n случайным образом извлекаются из корзины. Элементарным событием является набор чисел, состоящий из чисел от 1 до n. Число элементарных событий равно соответствующему числу перестановок, т. е. . Механизм случайного выбора – процедура извлечения карточек.

8. Из хорошо перемешанной колоды из 36 карт вынимают одну карту. Элементарное событие – это выбранная карта. Механизм случайного выбора представляет собой процедуру перемешивания карт.

9. В барабане находится n шаров. При длительном вращении барабана шары перемешиваются, после чего один из них попадает в лунку. Элементарные события – выбранные шары. Механизм случайного выбора – перемешивание с помощью барабана.

10. Имеется прямоугольник, разбитый на клетки. Частица передвигается только по сторонам клеток, так, что каждую секунду она смещается либо на единицу вправо, либо на единицу вверх с равными вероятностями. В этой задаче механизм случайного выбора не указан, но легко реализуется, причем различными способами. Например, каждую секунду можно бросать симметричную монету и передвигать частицу вправо, если выпал «герб», и на единицу вверх, если выпала цифра.

В рассмотренных примерах с помощью механизма случайного выбора может реализоваться лишь конечное число различных элементарных событий. В большинстве вероятностных задач число таких событий бесконечно. Примерами таких задач являются: 1) бросание монеты до первого появления герба, 2) «случайный» выбор точки из интервала [0, 1], игра в карты до первой победы.

Теперь мы в состоянии дать определение события.

Событие в теории вероятностей – это множество, состоящее из элементарных событий.

События обычно имеют свои словесные описания. Например, при бросании двух игральных костей можно рассматривать событие A, состоящее в суммарном выпадении четного числа очков, а при вытаскивании игральной карты из колоды событием является выпадение карты бубновой масти. Все эти события состоят из элементарных событий. Так, при бросании играль-ных костей событие A состоит из элементарных событий {1, 1}, {1, 3}, {1, 5},

{2, 2}, {2, 4}, {2, 6}, {3, 1} {3, 3}, {3, 5}, {4, 2}, {4, 4}, {4, 6}, {5, 1}, {5, 3}, {5, 5}, {6, 2}, {6, 4}, {6, 6}.

Достоверным событием называется событие, состоящее из всех элементарных событий.

Достоверное событие происходит всегда, поскольку в результате случайного выбора какое-то элементарное событие всегда реализуется. Обозначим достоверное событие буквой .

Невозможным событием называется событие, которое не может произойти никогда.

Обозначим его . Оно представляет собой пустое множество элементарных событий.

Противоположным событию событием называется событие , состоящее в том, что событие не произошло.

состоит из элементарных событий, не входящих в А. Противоположным для достоверного события является невозможное событие.

Суммой (объединением) событий А и В называется событие , состоящее в том, что из двух событий и происходит по крайней мере одно (либо , либо , либо и вместе).