18. Моделирование процесса страхования автомобилей

Некоторая страховая компания выполняет операции, связанные со страхованием автомобилей. Для оценки текущего фонда компании необходимо иметь информацию о возможных выплатах по страховым полисам.

Наблюдения в предшествующий период показали, что число требований по выплатам за любой промежуток времени τ не зависит от момента времени, а зависит только от продолжительности, в любые два непересекающиеся интервала требования поступают независимо, в достаточно малый промежуток времени поступает не более одного требования. Ожидаемое число требований, поступающих в компанию за неделю равно 2.

Поток требований стационарный, обладает свойством отсутствия последствия, ординарный, и поэтому является стационарным пуассоновским или простейшим. Единица времени неделя. Интенсивность потока 𝜆=2 (два в неделю).

Пусть Х(τ) – число требований, поступающих в компанию за τ недель, Т – промежуток времени между любыми двумя требованиями по выплатам.

Тогда решение задачи сводиться к следующей модели:

1)Если τ=1 месяц=4 недели и m=7, тогда:

-Вероятность Р₇(4) вычисляется по закону распределения Пуассона:

Р₇(4)=

-Вероятность Р (Х(4)<7) = ;

-Вероятность Р (Х(4)7) поступления не менее 7 требований по выплатам за месяц равна Р(Х(4)7)=1 - Р (Х(4)<7) = 1- 0,321 0,679.

2)Если τ=1 неделя. Вероятность не поступления в компанию ни одного требования за неделю Р₀(1) = .

3)Если τ=2 недели, то:

-Вероятность поступления за 2 недели хотя бы одного требования Р (Х(2)1)=

-Вероятность Р интервал Т меньше 2 дней Р

-Вер-ть Р(Т)Р =

19. Связь между дискретным марковским процессом с непрерывным временем и пуассоновским потоком

Пуассоновские потоки событий и дискретные марковские процессы с непрерывным временем между собой связаны. Рассмотрим связь между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем. Пусть S система с дискретными состояниями s₁, s₂,…, s_n, в которой протекает случайный процесс с непрерывным временем. В момент времени t₀ система находится в состоянии s_i и под воздействием некоторого пуассоновского потока событий П_ij интенсивности t) может перейти в другое состояние S_j(i.

Процесс перехода системы S в состояние S_j происходит в момент времени t как только наступит первое событие потока П_ij.

Теорема.

Плотность вероятностей перехода 𝜆_ij(t) системы S из состояния S_i в состояние S_j в момент времени t под воздействием пуассоновского потока П_ij равна интенсивности этого потока: 𝜆_ij(t)= 𝜆(t).

Для того, чтобы случайный процесс с непрерывным временем протекающий в системе с дискретными состояниями был марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое были пуассоновскими (стационарными или нестационарными).

Системы, в которых протекают дискретные марковские случайные процессы с непрерывным временем, называются пуассоновскими системами.

Исследования пуассоновских систем необходимо проводить следующим образом:

1.Дать описание каждого возможного состояния системы.

2. Составить граф состояний системы, указав возможные непосредственные переходы системы из состояния в состояние.

3. На размеченном графе состояний указать интенсивности 𝜆_ij(t) потока событий П_ij под воздействием которого происходит данный период.

4. Задать начальные состояния системы в момент времени t=0.