II. Задачи и примеры Определенный интеграл
№№ 1 – 6. Вычислить
1.
2.
. 3.
.
4.
. 5.
.
6.
.
№№ 7 – 12. Найти площади фигур, ограниченных линиями
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
Найти площадь фигуры между первым и
вторым витками спирали Архимеда
.
14.
Найти площадь фигуры между локоном
Аньези
и параболой
.
№№ 15 – 19. Найти длины дуг кривых
15.
. 16.
.
17.
между
прямыми
.
18.
. 19.
.
20.
Найти длину дуги части параболы
,
которая отсекается от параболы
вертикальной прямой, проходящей через
полюс.
21.
Найти длину дуги спирали Архимеда
,
которая находится внутри круга радиуса
.
22.
Найти объем тела, образованного вращением
параболического сектора с основанием
и высотой
:
а) вокруг основания;
б) вокруг оси симметрии;
в) вокруг касательной, проведенной через вершину сектора.
23.
Найти объем тела, которое отсекается
от эллиптического параболоида
плоскостью
.
24.
Показать, что объем части, которая
отсекается плоскостью от тела,
образованного вращением равнобочной
гиперболы
вокруг оси OX,
равен объему шара радиуса
.
25.
Найти объем тела, образованного вращением
циссоиды
вокруг ее асимптоты
.
26. Какую работу нужно выполнить, чтобы растянуть пружину на 0.06 м, если сила 1 Н растягивает ее на 0.01 м?
27.
Вычислить, какую работу нужно затратить,
чтобы выкачать воду из вертикальной
цилиндрической бочки, имеющей радиус
основания
и высоту
.
28.
Найти силу давления воды на вертикальный
круговой конус с радиусом основания
и высотой
,
погруженный в воду вершиной вниз так,
что его основание находится на поверхности
воды.
29.
Вычислить кинетическую энергию прямого
кругового конуса массы
,
вращающегося с угловой скоростью
около своей оси,
если
радиус основания конуса
,
а высота
.
30.
Найти центр масс дуги астроиды
,
которая лежит в первой четверти.
31.
Найти моменты инерции площади эллипса
относительно его главных осей.
32.
Найти статический момент окружности
относительно полярной оси.
Формула Тейлора
№№ 33
– 36. Написать разложения следующих
функций по целым неотрицательным
степеням
33.
до члена с
. 34.
до члена с
.
35.
до члена с
. 36.
до члена с
.
№№ 37
– 42. С помощью формулы Тейлора найти
приближенное значение с точностью
37.
. 38.
.
39.
. 40.
.
41.
. 42.
.
№№ 43
– 46. Найти числа
и
такие, чтобы выполнялись следующие
равенства
43.
.
44.
.
45.
.
46.
.
Функции многих переменных
№№ 47 – 50. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функций
47.
. 48.
.
49.
. 50.
.
51.
Показать, что
,
если
.
52.
.
Показать, что
какой бы ни была дифференцируемая
функция
.
53.
Доказать, что выражение
для плоской волны, которая распространяется
вдоль оси OX,
является решением волнового уравнения
,
где
- фазовая скорость.
54.
Показать, что
,
если
.
55.
Уравнения движения материальной точки
.
С какой скоростью увеличивается
расстояние от этой точки до начала
координат?
№№ 56 – 59. Найти производные первого и второго порядков от сложных функций
56.
. 57.
.
58.
. 59.
.
60.
Найти
и
,
если
.
№№ 61 – 64. Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций
61.
. 62.
.
63.
. 64.
.
65.
Как изменится диагональ прямоугольного
параллелепипеда со сторонами
11
см,
10
см,
2
см, если
и
уменьшить на 2 мм, а сторону
увеличить на 3 мм?
66.
Центральный угол сектора
изменился на
.
Как нужно уменьшить радиус сектора
10
см, чтобы площадь его осталась неизменной?
№№ 67 – 70. Вычислить приближенно значения выражений
67.
. 68.
.
69.
. 70.
.
№№ 71 – 74. Найти дифференциалы указанных порядков
71.
. 72.
.
73.
. 74.
.
№№ 75
– 78. Найти частные производные
и
75.
. 76.
.
77.
. 78.
.
79.
Найти
,
,
,
если
,
,
.80.
Найти
,
,
,
,
если
.
81.
Найти
в точке
,
,
если
,
,
.
82.
Функция
задана уравнением
.
Показать, что
.
№№ 83 – 87. Решить уравнения, введя новые переменные
83.
,
.
84.
,
,
.
85.
,
.
86.
,
,
,
,
.
87.
,
,
,
,
.
88. Найти размеры конуса наибольшего объема при условии, что площадь его боковой поверхности равна S.
89. Через точку M(a, b, c) провести плоскость, образующую с координатными плоскостями тетраэдр наименьшего объема.
90
На плоскости XOY
найти точку M(x,y),
сумма квадратов расстояний которой от
трех прямых
,
была бы наименьшей.
91. В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
92.
Найти наибольшую площадь треугольника
с заданной стороной
и противолежащим углом
.
№№ 93 – 96. Исследовать на условный экстремум следующие функции
93.
при условии
.
94.
при условии
.
95.
при условии
,
.
96.
при условии
,
.