22. Метод обратных функций. Примеры реализации.

Равномерно распределенные числа можно преобразовывать в случайные числа, имеющие заданный закон распределения.

ИМЕЕТСЯ: последовательность с.в. ₁, ₂… , равномерно распределенных на интервале (0,1).

ЗАДАЧА: необходимо моделировать с.в. ₁, ₂… с плотностью распределения в интервале .

Задача заключается в нахождении такой зависимости (здесь - строго монотонная и дифференцируемая ф-я на интервале (0, 1)), для которой плотность распределения с.в., получаемой соотношением , равнялась бы .

Одним из наиболее распространенных методов подобного преобразования является МЕТОД ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ, сформулированный как: .

Где - ф-я, обратная .

Лемма: Если с.в.  имеет плотность распределения , то имеет равномерный закон распределения на интервале [0; 1].

,

,

-функция плотности :

Теорема: Пусть F(x) – это функция распределения некоторой случайной величины ,  – случайная величина с равномерным законом распределения на интервале [0, 1]. Тогда случайная величина , где F^-1 – обратная функция F(x), подчиняется закону распределения F(x).

Квантиль порядка Р одномерного распределения – это значение х_р, при котором вероятность того, что х<x_р равняется p. Р{x<x_р }=p

ПРИМЕРЫ:

1) Имитация равномерно распределенных на интервале [а, b] случайных величин.

Функция распределения:

Функция плотности:

2) Имитация случайной величины ξ , которая подчиняется экспоненциальному закону распределения.

Случайная величина распределена на интервале [0, +∞].

Метод обратных функций применим только тогда, когда есть возможность получить квадратуру интеграла.

26. МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЙ (ОТБОРА).

Равномерно распределенные числа можно преобразовывать в случайные числа, имеющие заданный закон распределения.

ИМЕЕТСЯ: последовательность с.в. ₁, ₂… , равномерно распределенных на интервале (0,1).

ЗАДАЧА: необходимо моделировать с.в. ₁, ₂… с плотностью распределения в интервале .

Задача заключается в нахождении такой зависимости (здесь - строго монотонная и дифференцируемая ф-я на интервале (0, 1)), для которой плотность распределения с.в., получаемой соотношением , равнялась бы .

Один из приемов преобразования случайных чисел, не связанный непосредственно с решением уравнения – метод отбора. Суть метода состоит в том, что из равномерно распределенной совокупности отбираются случайные числа, удовлетворяющие некоторому условию таким образом, чтобы отобранные числа подчинялись заданному закону распределения.

Рассмотрим случайную величину ξ, определенную на интервале [а, b] с функцией плотности f(x), отграниченное сверху значением С (f(x)≤C):

ТЕОРЕМА:

Пусть γ₁ и γ₂ - случайные независимые числа, а

Тогда случайная величина ξ= ξ^’, такая, что: η^’ <f(ξ^’ ), имеет функцию плотности f(x), т.е. докажем, что точки, которые попадают в подынтегральную функцию имеют функцию распределения f(x). (ξ^’, η^’) [a, b; 0, C].

Процедура получения последовательности ξ_i случайных чисел, имеющих функцию плотности f(x), сводится к следующему:

1. Из исходной совокупности выбираются пары случайных независимых чисел γ₁ и γ₂. Находим :

2. Для этих чисел проверяется справедливость неравенства:

Если неравенство верно, то ξ_i=ξ’_i.

• Описание процедуры отбора случайных чисел может потребовать значительного количества операций для своей машинной реализации.

10. МЕТОД КОМПОЗИЦИЙ И ПРИМЕРЫ.

Метод основан на свойствах законов распределения. Метод композиции или суперпозиции не является самостоятельным приемом моделирования непрерывных с.в., а представляет собой метод преобразования имитируемого распределения к виду, удобному для моделирования известными методами.

ПРИМЕР №1: Имитация нормально распределенных с.в.: ξ~N(μ_x, σ_x²).

Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других состоит в том, что это предельный закон, к которому приближаются другие законы распределения при определенных условиях.

Функция плотности вероятности f(x) случайной величины определена выражением:

Если μ_x =0, σ_x =1 – нормальное распределение называется стандартным: , где . Соответственно, если требуется получить из стандартного распределения новое нормальное с заданными значениями среднего и стандартного отклонения, то можно воспользоваться формулой

Так как функция f(x) и f(y) невозможно непосредственно проинтегрировать, для получения кумулятивной функции распреде­ления нельзя использовать метод обратных функций для моделирования случайных величин с нормальным законом распределения.

Один из методов моделирования нормально распределенных величин состоит в ПРИМЕНЕНИИ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ (ЦПТ): Пусть с.в. X1, X2,…,Xn независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание МХi = μ и дисперсию DXi = σ², i=1..n. Тогда сумма этих n с.в. будет подчинена нормальному закону распределения с МХi = nμ и DXi = nσ².

Пусть 1,2,…,n – равномерно распределенные числа на интервале [0,1],тогда , будет подчиняться нормальному закону распределения с МХi = nμ и DXi = nσ²:

ПРИМЕР №2: Имитация с.в, подчиненных распределению ²

Известно, что сумма квадратов ν независимых случайных величин, распределенных по нормальному закону с μ_x=0, σ_x =1 распределена по закону χ² с ν степенями свободы: χ²_(ν) = z²₁ + z²₂ + z²₃ + … + z²_ν .

Г- гамма-функция.

На базе этих двух распределений происходит моделирование СВ, подчиненных закону t-распределения Стьюдента; СВ, подчиненных закону F-распределения Фишера-Снедекора.