3. Исследовать при каких значениях параметра асимптотически устойчиво нулевое решение уравнения.
Решение.
Мы имеем стандартный полином с коэффициентами
,
,
,
,
.
Составим для полинома матрицу Гурвица, и применим критерий Льенара-Шипара:
Следовательно,
система асимптотически устойчива при
.
Проверим результат в пакете Maple:
>
>
>
>
>
>
>
4. Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева
Решение.
Функцию Ляпунова
будем искать в виде
Тогда,
Положим,
.
Функция Ляпунова и ее производная в
силу системы будут иметь вид:
Зададим множество
Теорема 4
(теорема
Четаева).
Пусть
–
положение равновесия системы
.
Пусть
-
непрерывно дифференцируемая функция,
такая что
и
для некоторой точки
,
такой что
- произвольно малая величина. Определим
множество
,
и предположим что
в
.
Тогда,
-
неустойчивое положение равновесия
системы.
Очевидно, что на
множестве
(и
везде на плоскости) производная в силу
системы принимает положительные
значения. Положение равновесия неустойчиво
по теореме Четаева.
Проверим полученный результат в пакете Maple (Рис. 4.1)
> restart: with(DEtools):
> eq1:=(diff(x(t),t)=(x(t)^5)+(y(t)^3));
> eq2:=(diff(y(t),t)=(x(t)^3)-(y(t)^5));
> DEplot([eq1,eq2],[x(t),y(t)],t=0..50,[[x(0)=0.35, y(0)=-0.39],[x(0)=-0.4, y(0)=0.35], [x(0)=-0.4, y(0)=0.45],[x(0)=0.4, y(0)=-0.4]],x=-0.5..0.5, y=-0.5..0.5, linecolor=sin(t), stepsize=0.01);
Рис. 4.1 Фазовый портрет системы
5. С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы
Решение.
Составим якобиан системы:
Теорема 5 (о
неустойчивости по первому приближению).
Пусть функция
непрерывно
дифференцируема в некоторой окрестности
положения равновесия
.
Если хотя бы одно собственное значение
матрицы Якоби
имеет положительную вещественную часть,
то положение равновесия
неустойчиво
по Ляпунову.
Найдем собственные
значения матрицы
:
Полином не является гурвицевым:
Мы имеем один положительное собственное значение, следовательно тривиальное решение системы неустойчиво по Ляпунову.
Проверим наш результат в пакете Maple (Рис. 5.1)
>
>
Рис. 5.1 Численное интегрирование системы
6. Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у системы.
Решение.
Сначала, покажем что у системы существует единственное (неустойчивое) состояние равновесия.
Построим якобиан системы:
;
;
Найдем собственные
значения
:
,
,
Оба собственных значения якобиана положительны, особая точка неустойчива.
Рассмотрим функцию
Ее производная в силу системы имеет вид:
;
Значения производной в силу системы меняются при пересечении эллипса
|
|
(6.1) |
Однако, мы не можем
использовать эллипсы для доказательства
существования «кольца». Рассмотрим 2
окружности,
,
которая не пересекает эллипс (6.1) и лежит
внутри него, и окружность
,
которая так же не пересекает заданный
эллипс, и внутри которой он располагается
(Рис. 6.1)
>
-
Рис. 6.1 Эллипс (1), при пересечении которого производная в силу системы меняет знак (красный), окружность
(фиолетовая), окружность
,
(синяя).
На окружности
производная в силу системы принимает
положительные значения, на
- отрицательные, то есть траектории
системы пересекают первую окружность
в направлении «от центра», и вторую
окружность по направлению «к центру».
На каждой окружности возьмем точки, лежащие близко к оси абсцисс и проверим поведение траекторий. Расчеты будем производить при помощи пакета Maple:
>
Действительно, по теореме о непрерывной зависимости решений от начальных данных, траектории будут в дальнейшем вести себя подобным образом.
Мы можем заявить о существовании цикла у системы.
Лемма 6. Если
внутри положительно (отрицательно)
инвариантной для траекторий системы
области нет состояний равновесия
системы, то в этой области содержится
по крайней мере один цикл системы.
Мы доказали, что у системы существует положительно инвариантная область, в которой нет решений системы. По лемме 6, у системы есть цикл.
Проверим полученный результат в пакете Maple (Рис. 6.2).
>
>
Рис. 6.2 Численное интегрирование системы