2. Найти первый интеграл. Изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости .
Решение.
Канонический вид уравнения Ньютона:
Оно описывает
движение материальной частицы массой
,
в потенциальном поле с потенциалом 
.
В нашем случае, уравнение имеет вид:
где
,
а 
.
Для того, что бы
найти первый интеграл, умножим обе части
уравнения на
:
,
следовательно:
Выражение является первым интегралом уравнения. Т.к. он является суммой кинетической и потенциальной энергии системы, этот интеграл называется интегралом энергии данной системы.
Полагая, что
,
мы получаем эквивалентную исходному
уравнению систему:
Найдем особые точки системы:
:
,
или
Таким образом, имеем три особые точки:
Исследуем функцию :
Функция четная, ;
Функция обращается в 0 при .
Производная функции обращается в ноль в особых точках системы.
.
Таким образом,
особая точка
-
точка типа «седло».
и
- точки типа
«центр».
Рис 2.1 Фазовый
портрет уравнения на плоскости
.
Проверим полученный результат в пакете Maple:
> restart; with(DEtools): >plot(((x^4)/2))- ((x^2)/2))),x=-2..2,y=-0.2..0.3) DEplot([diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=x(t)-2*(x(t))^3], [x(t),y(t)], t=-10..10, [[x(0)=-2,y(0)=0], [x(0)=-1.5,y(0)=0], [x(0)=-1.25,y(0)=0], [x(1)=-1,y(1)=0],[x(1)=-0.75,y(1)=0], [x(1)=-0.5,y(1)=0], [x(1)=-0.25,y(1)=0],[x(0)=1,y(0)=0],[x(0)=0.75,y(0)=0], [x(0)=0.5,y(0)=0], [x(0)=0.25,y(0)=0]], x=-2..2, y=-4..4, stepsize=0.01, linecolour=red, method=rkf45);
Рис 2.2 Фазовый
портрет уравнения на плоскости
в пакете Maple.
Угловые скорости движения точек по замкнутым фазовым траекториям (вокруг точек типа «центр») могут совпадать (синхронное движение) или же быть различным (асинхронное движение).
Для проверки
синхронности движения вокруг точек и
вычислим периоды
движения по различным траекториям.
Воспользуемся формулой
которая в нашем случае имеет вид:
Варьируя уровень
энергии, построим таблицу зависимости
периода движения для точек и
T+
и T-
соответственно.
|
E |
-0.1 |
-0.08 |
-0.06 |
-0.04 |
-0.02 |
-0.01 |
|
T- |
4.132 |
4.276 |
4.328 |
5.042 |
5.578 |
6.638 |
|
T+ |
4.132 |
4.276 |
4.328 |
5.042 |
5.578 |
6.638 |
Таким образом, период вращения вокруг обеих точек зависит от уровня энергии (Рис 2.3), следовательно движение вокруг них является асинхронным.
Рис 2.3 График
зависимости периода движения вокруг
точек и
от уровня энергии.
> E:=-(0.10);
evalf(solve( (((x^4)/2) -((x^2)/2) - E) , x),10);
> a:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=-0.85..-0.53));
b:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=0.53..0.85));
> E:=-(0.08);
evalf(solve( (((x^4)/2) -((x^2)/2) - E) , x),10);
> a:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=-0.89..-0.45));
b:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=0.45..0.89));
> E:=-(0.06);
evalf(solve( (((x^4)/2) -((x^2)/2) - E) , x),10);
> a:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=-0.92..-0.38));
b:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=0.38..0.92));
> E:=-(0.04);
evalf(solve( (((x^4)/2) -((x^2)/2) - E) , x),10);
> a:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=-0.955..-0.3));
b:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=0.3..0.955));
> E:=-(0.02);
evalf(solve( (((x^4)/2) -((x^2)/2) - E) , x),10);
> a:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=-0.9789..-0.21));
b:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=0.21..0.9789));
> E:=-(0.01);
evalf(solve( (((x^4)/2) -((x^2)/2) - E) , x),10);
> a:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=-0.9897..-0.143));
b:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=0.143..0.9897));
