6. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимые и зависимые случайные события.
Условная
вероятность-
Вероятность события B,
вычисленная в предположении, что событие
A уже произошло.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Теорема:
Вероятность совместного появления 2
событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность
другого, вычисленную в предположении,
что 1е событие уже наступило
Доказательство:
По определению условной Вероятности
, отсюда
Следствие: Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили:
B
независимо от A,
если появление A не изменяет
вероятности появления события B,
т.е. если условная вероятность события
B равна его безусловной
вероятности.
.
Если событие B не зависит от A, то и A не зависит от B.
Теорема умножения вероятностей независимых событий
P(AB)=P(A)*P(B)
7.Независимые в совокупности. Вероятность появления хотя бы одного события.
Независимые в совокупности события – если независимы каждые 2 из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
Вероятность появления хотя бы одного события
Теорема:
Вероятность появления хотя бы 1 из
событий
, независимых в совокупноси равна
разности между единицей и произведением
вероятностей противоположных событий
Доказательство:
Обозначим через А событие, состоящее в
появлении хотя бы одного из событий
. События А и
противоположны, следовательно сумма
их вероятностей = 1
P(A)+P(
)=1
Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим:
)
или
Частный
случай: Если события
имеют одинаковую вероятность, то
вероятность появления хотя бы 1 события
8. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез (формулы Байеса)
Формула
полной вероятности
Формулы
Бейеса:
Допустим наступило событие А.
Определим, как изменились вероятности
гипотез
9.Повторные независимые испытания формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Формулы
Бернулли:
Вероятность появления события А в n
испытаниях ровно k раз в
определенной последовательности.
Интегральная
теорема Лапласа:
;
Вероятность появления события
А в n испытаниях
k раз (при больших
значениях)
Локальная
теорема Лапласа:
;
;
Вероятность появления события
А в n испытаниях
не менее k1 и не
более k2 раз (при
больших значениях)
10. Виды случайных величин (дискретные и непрерывные).Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Случайная величина – величина, которая в результате испытания примет только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Дискретная (прерывная) случайная величина – случайная величина, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной величины может быть конечным или бесконечным.
Непрерывная случайная величина - случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной величины бесконечно.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины-соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
|
Х |
х1 |
х2 |
… |
хn |
|
р |
р1 |
р2 |
… |
рn |
