49.Распределение отношения выборочных дисперсий 2 норм генер совокупностей.

Пусть генеральные совместимости , m₁, m₂ известны. - выборки из X и Y соответственно.

Найдем закон распределения отношения выборки дисперсий

распределение Фишера

Т.о.

50. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.

В ряде задач требуется не только найти для параметра подходящую оценку , но и указать к каким ошибкам может привести замена параметра его оценкой , т.е. требуется оценить точность и надежность оценки.

Для определения точности оценки в статистике пользуются доверительными интервалами.

Для определения надежности оценки в статистике пользуются доверительной вероятностью.

Опр. Доверительным интервалом для параметра называется интервал , содержащий истинное значение параметра с заданной вероятностью .

.

Опр. Число называется доверительной вероятностью, а значение  – уровнем значимости.

Замечание. Нижняя и верхняя граница доверительного интервала определяется по результатам наблюдений и следовательно является СВ. Поэтому так и говорят, что доверительный интервал «накрывает» оцениваемый параметр с вероятностью .

Выбор доверительной вероятности каждый раз определяется конкретной постановкой задачи. Обычно р = 0,9; р = 0,95; р = 0,99.

Часто применяют односторонние доверительные интервалы

(левосторонний), (правосторонний).

В простейших случаях метод построения доверительных интервалов состоит в следующем –оценка,. Предположим, что существует непрерывная и монотонная функция Y, зависящая от и , но такая, что ее распределение не зависит от и других параметров. Для нахождения границ доверительного интервала по заданной доверительной вероятности . В этом случае можно использовать неравенство , где числа , определяются из условия

Рассмотрим нахождение доверительного интервала для среднего и дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

51. Доверительный интервал для оценки мо при нЕизвестной дисперсии

2)Доверительный интервал для оценки МО при неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности. Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ . В качестве оценки для m возьмем . Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то по выборке определяем статистику . Доверительный интервал для m в этом случае находится с помощью статистики .

В литературе по статистике показано, что Y имеет распределение Стьюдента с n–1 степенью свободы .

По заданной доверительной вероятности , используя таблицы распределения Стьюдента с n–1 степенью свободы, находим .

.

.

.

51. Доверительный интервал для оценки мо при известной дисперсии

1) Доверительный интервал для оценки МО при известной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ Х, где . В качестве оценки для m возьмем . Предположим, что известна. Рассмотрим статистику

.

Статистика .

По таблице нормального распределения найдем квантили и

.

.

.

.

.

Учитывая, что получаем

.