1.3. Классическое определение вероятности

Пусть , причём . Пусть А – некоторое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда наступает элементарное событие из подмножества множества . Поскольку и события попарно несовместны, то

,

где . Поскольку , то , откуда получаем формулу , где n – общее число элементарных исходов испытания, m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А.

1.5. Аксиоматика теории вероятностей

Пусть  – некоторое множество элементов произвольной природы, называемых элементарными событиями, а F – множество всех подмножеств . Элементы множества F будем называть событиями. Пусть множество F обладает следующими свойствами:

1) ;

2) если , то .

Если множество F содержит бесконечное число элементов, то предполагается также справедливость следующего свойства: если , то . Вероятности событий из множества F вводятся с помощью следующих аксиом, предложенных А.Н. Колмогоровым.

Аксиома 1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое его вероятностью.

Аксиома 2. .

Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события попарно несовместны, то .

Таким образом, аксиомы вводят на множестве F неотрицательную, нормированную, аддитивную функцию Р, называемую вероятностью.

Основные следствия из аксиом.

Следствие 1. Для любого события А имеет место .

Следствие 2. Для любого события А имеет место .

Следствие 3. .

Следствие 4. Если , то и .

1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей

Пусть А и В – два произвольных события. Относительные частоты событий А, В и в n повторения испытания выражаются отношениями , и , где – число появлений события в n испытаниях.

‑ произвольные событий А и В. Независимость событий всегда взаимна.

Теорема. Вероятность произведения произвольных событий вычисляется по формуле . (математической индукцией).

Теорема. Вероятность суммы двух произвольных событий А и В вычисляется по формуле .

1.8. Формула полной вероятности

Пусть требуется найти вероятность некоторого события А, которое может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу попарно несовместных событий (гипотез). Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле

,

называемой формулой полной вероятности.

1.9. Формула Байеса

Пусть имеется полная группа попарно несовместных событий (гипотез) . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны . Проведён опыт, в результате которого произошло событие А. Требуется найти условную вероятность гипотезы после того как произошло событие А.

Справедлива следующая формула, называемая формулой Байеса:

,

где .

Вероятность называется априорной вероятностью гипотезы , а – апостериорой вероятностью этой гипотезы.

2.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные величины

Случайной величиной (СВ) называется такая величина, которая в результате опыта может принять одно и только одно значение из некоторого подмножества числовой прямой.

Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает только отдельные изолированные друг от друга значения с определёнными вероятностями. Множество возможных значений дискретной СВ может быть конечным или счётным.

Случайная величина Х называется непрерывной, если множество её возможных значений – конечный или бесконечный промежуток числовой прямой, причём вероятность появления каждого отдельного значения равна нулю.