1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных исходов
Событие ‑ любой факт, который может произойти или не произойти. Эксперимент (испытание, опыт) –воспроизведение определённой совокупности событий и наблюдение результатов этого воспроизведения.
Достоверное (невозможное) событие, если в результате эксперимента оно всегда происходит (никогда не происходит).
Случайным событие называется, если в результате эксперимента оно может или произойти, или произойти.
Если при каждом наступлении события А
наступает и событие В, то говорят,
что А влечёт за собой В
(А – частный случай В). (
и
).
События А и В называются равными
(эквивалентными), если в результате
эксперимента одно из них происходит
тогда и только тогда, когда происходит
другое. (
).
Событие, состоящее в совместном
наступлении событий А и В, называется
произведением событий А и В и
обозначается
или
.
Событие, состоящее в наступлении хотя
бы одного из событий А и В, называется
суммой событий А и В и обозначается
или
.
События
образуют полную группу, если
.
Событие, состоящее в том, что в опыте
событие А происходит, а событие В нет,
называется разностью событий А и В
(
или
.
Событие, состоящее в том, что в опыте
событие А не происходит, называется
противоположным по отношению к А и
обозначается
.
А и В называется взаимно противоположными,
если
и
.
Два события А и В называются несовместными,
если их совместное появление в опыте
невозможно, т.е.
.
События
называются попарно несовместными, если
при
имеет место
.
Из совокупности возможных исходов
испытания можно выделить такое множество
событий, что при
каждом повторении опыта появляется
одно и только одно событие из ,
а произвольное событие А в опыте
происходит тогда и только тогда, когда
наступает событие из некоторого
подмножества
множества . Элементы
множества будем
называть элементарными событиями,
а само множество
– пространством элементарных исходов
испытания. Пространство элементарных
исходов может содержать как конечное,
так и бесконечное число элементов.
1.2. Относительная частота и вероятность события. Статистическое определение вероятности
Пусть испытание повторяется n раз,
причём в
повторениях появляется событие А.
называют относительной частотой
события А в n повторениях
испытания.
Если при достаточно больших n
,
получаемая в различных сериях испытаний,
почти всегда лишь мало отличается от
некоторого числа
,
то это число называется вероятностью
события А.
Поскольку
,
то
,
а значит,
.
Относительная частота достоверного
(невозможного) события в любой серии
испытаний, очевидно
,
.
Пусть, далее, А и В – два несовместных
события, первое из которых в результате
n испытаний появилось
раз, второе –
раз, то
,
откуда естественно предположить, что
.
Если
– попарно несовместные события и
,
то по индукции можно получить равенство
,
из которого следует, что
.
Таким образом, вероятность суммы попарно
несовместных событий равна сумме их
вероятностей.
Практически достоверные (практически невозможные) события ‑ при многократном повторении испытания почти всегда происходят (почти никогда не происходят).