- •1.1.Понятие функции многих переменных
- •1.2.Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
- •1.3.Частные производные первого и второго порядка
- •1.5.Экстремум функции двух переменных
- •1.6.(**)Метод наименьших квадратов. Выравнивание эмпирических данных по прямой
- •2.1.Неопределенный интеграл, первообразная и их св-ва.
- •2.4.Интегрирование путем замены переменной(подстановкой)
- •3.7.Определенный интеграл в экономических и физических задачах
- •2)Определение средних значений
- •Издержек производства.
- •3.4Формула Ньютона-Лейбница (вывод)
- •3.5.Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •4.1.Дифференциальное уравнение(ду)
- •4.2.Ду 1го порядка
- •5.1.Числовой ряд и его сходимость.
- •6.2.Теорема Абеля.
- •6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
- •6.4.Свойства степенных рядов .
- •6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •6.6.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений
6.6.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
Если ф-ция f(x) явл. суммой степенного ряда в каком-либо промежутке,то говорят,что f(x) в этом промежутке разлагается в степенной ряд.
Практически важное достаточное условие разложения ф-ции в ряд Тейлора выражается следующей теоремой: если производные любого порядка ф-ции f(x) ограничены в окрестности U(x0) точки x0 одним и тем же числом С,т.е. |f(n) (x)| ≤C (n=1,2,3,…),то ряд Тейлора этой ф-ции сходится к f(x) для любого xиз этой окрестности.
Если ф-ция f(x) разложима в ряд Тейлора,то это разложение единственное.
Приведем разложения в степенной ряд (ряд Маклорена)некоторых элементарных ф-ций:
ex=1+x/1!+x2/2!+…+xⁿ/n!+… (-∞<x<∞),
sinx=x/1!-x³/3!+x5/5! –x77! +...+(-1)ⁿ x2n+1/(2n+1)!+...
(-∞<x<+∞),
cosx=1 - x²/2!+x4/4! – x6/6!+...+(-1)ⁿ x2n/(2n)!+…
(-∞<x<+∞),
ln(1+x)=x – x²/2+x³/3 – x4/4+...+(- 1)n-1 xⁿ/n+...
(-1<x≤1),
(1+x)m=1+mx/1!+m(m-1)x²/2!+m(m-1)(m-2)x³/3!+...+
+m(m-1)...(m-n+1)xⁿ/n!
Последнее разложение имеет место при любом действительном числе m,если -1<x<1
6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений
Разложение ф-ций в степенные ряды позволяет применять эти ряды для приближенного вычисления значений ф-ций,определенных интегралов,решения дифференциальных уравнений.Для вычисления приближенного значения ф-ции в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а остальные члены отбрасывают.Чтобы получить погрешность найденного приближенного значения, нужно оценить сумму отброшенных членов.Если данный ряд знакопостоянный ,то ряд, составленный из отброшенных членов,сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.Если ряд знакопеременный и члены его удовлетворяют признаку Лейбница,то ипользуется оценка
∆<|un+1|, где un+1 – первый из отброшенных членов, т.е. ошибка приближенного вычисления не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов.