
- •1.1.Понятие функции многих переменных
- •1.2.Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
- •1.3.Частные производные первого и второго порядка
- •1.5.Экстремум функции двух переменных
- •1.6.(**)Метод наименьших квадратов. Выравнивание эмпирических данных по прямой
- •2.1.Неопределенный интеграл, первообразная и их св-ва.
- •2.4.Интегрирование путем замены переменной(подстановкой)
- •3.7.Определенный интеграл в экономических и физических задачах
- •2)Определение средних значений
- •Издержек производства.
- •3.4Формула Ньютона-Лейбница (вывод)
- •3.5.Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •4.1.Дифференциальное уравнение(ду)
- •4.2.Ду 1го порядка
- •5.1.Числовой ряд и его сходимость.
- •6.2.Теорема Абеля.
- •6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
- •6.4.Свойства степенных рядов .
- •6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •6.6.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений
1.1.Понятие функции многих переменных
Пусть имеется n-перем-х и каждому х1, х2… хn из нек-го множ-ва х поставлено в соответствие опред. число Z, тогда на множ-ве х задана ф-ция Z=f(х1, х2… хn) многих переменных.
Х – обл-ть опред-я ф-ции
х1, х2… хn – независ-е переем-е (аргументы)
Z – ф-ция Пример: Z=П х21*х2 (Объем цилиндра)
Рассм-м Z=f(х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х1, х2 замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.
Приемы построения графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти пл-тями || координатным пл-тям.
Пример: х = х0, зн. пл-ть Х || 0уz у = у0 0хz Вид ф-ции: Z=f(х0,y); Z=f(x,у0)
Например: Z=x2+y2-2y
Z= x2+(y-1)2-1 x=0 Z=(y-1)2-1 y=1 Z= x2-1 Z=0 x2+(y-1)2-1
Парабола окруж-ть(центр(0;1)
1.2.Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
Пусть задана Z=f(х;у), тогда А – предел ф-ции в т.(х0,y0), если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у удовл-щих |x-х0|<б; |y-y0|<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|<E
Z=f(х;у) непрерывна в т.(х0,y0), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х0 и у к у0; - этот предел = знач-ю
ф-ции в т.(х0,y0), т.е. limf(х;у)=f(х0,y0)
Если ф-ция непрерывна в кажд. т. мн-ва Х, то она непрерывна в этой области
Дифференциал ф-ции, его геом смысл. Применение диф-ла в приближенных значениях.
dy=f’(x)∆x – диф-л ф-ции
dy=dx, т.е. dy=f ’(x)dx если у=х
С геом точки зрения диф-л ф-ции – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке с абсциссой х0
х0 х0+dx
Диф-л применяют в вычислении приближ. значений ф-ции по формуле: f(х0+∆x)~f(х0)+f’(х0)∆x
Чем ближе ∆x к х, тем результат точнее
1.3.Частные производные первого и второго порядка
Производная первого порядка(которая называется частной)
О. Пусть
х,
у
– приращения независимых переменных
х и у в некоторой точке из области Х.
Тогда величина, равная
z
= f(x+
х,
y+
у)
= f(x,y)
называется полным приращением в точке
х0,у0.Если
переменную х зафиксировать, а переменной
у дать приращение
у,
то получим
zу
= f(x,y,+
у)
– f(x,y)
Аналогично определяется частная производная от переменной у, т.е.
z’x
=
Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной.
Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х , у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const.
Изолированные const соединены с функцией операциями сложения/вычитания.
Связанные const соединены с функцией операциями умножения/деления.
Производная изолированной const = 0
1.4.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения
Пусть z = f(x,y), тогда
tz
=
- называется
полным приращением
Частная производная 2-го порядка
Для
непрерывных функций 2-х переменных
смешанные частные производные 2-го
порядка
и
совпадают.
Применение частных производных к определению частных производных max и min функций называются экстремумами.
О. Точки
называются max
или min
z
= f(x,y),
если существуют некоторые отрезки
такие, что для всех x
и y
из этой окрестности f(x,y)<f
или
f(x,y)>f
.
Т. Если
задана точка экстремума функции 2-х
переменных , то значение частных
производных в этой точке равны 0, т.е.
,
Точки
,
в которых частные производные первого
порядка называются стационарными или
критическими.
Поэтому для нахождения точек экстремума функции 2-х переменных используются достаточные условия экстремума.
Пусть
функция z
= f(x,y)
дважды дифференцируема, и
стационарная
точка,
A
=
B
=
C
=
,
тогда
1),
причем maxA<0,
minA>0.
2)
3)
1.4.(*)Полный дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях
О. Пусть
функция y
= f(x)
определена в некоторой окрестности в
точки
.
Функция f(x)
называется дифференцируемой в точке
,
если ее приращение в этой точке
,
где
представлено в виде
(1)
Где
А – постоянная величина, не зависящая
от
,
при фиксированной точке х,
-
бесконечно малая при
.
Линейная относительно
функция
А
называется дифференциалом функции f(x)
в точке
и
обозначается df(
)
или dy.
Таким
образом, выражение (1) можно записать в
виде
(
).
Дифференциал
функции в выражении (1) имеет вид dy
= A.
Как и всякая линейная функция, он
определен для любого значений
в то время, как приращение функции
необходимо
рассматривать только для таких
,
для которых
+
принадлежит области определения функции
f(x).
Для
удобства записи дифференциала приращение
обозначают
dx
и называют его дифференциалом независимой
переменной x.
Поэтому дифференциал записывают в виде
dy
= Adx.
Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных – точки x и переменной dx:
Dy = Adx
Т. Для
того, чтобы функция y
= g(x)
была дифференцируема в некоторой точке
,
необходимо и достаточно, чтобы она имела
в этой точке производную, при этом
(2)
(*)Доказательство. Необходимость.
Пусть
функция f(x)
дифференцируема в точке
,
т.е.
.
Тогда
Поэтому
производная f’()
существует и равна А. Отсюда dy
= f’(
)dx
Достаточность.
Пусть
существует производная f’(),
т.е.
=
f’(
).
Тогда
Где
- бесконечно малая и
.
Значит, для
имеем
(3)
А
так как
- величина бесконечно малая, то наличие
равенства (3) и означает дифференцируемость
функции в точке
.
Формула
(2) позволяет находить дифференциалы
функций, если известны их производные.
Так, например, используя производные
некоторых элементарных функций, получаем
: dc
= 0 (с - постоянная), dsinx
= cosxdx,
и
т.д.
Геометрический
смысл дифференциала функции в точке
- это приращение ординаты касательной
к кривой в этой точке.
Если
предположить, что функция y
=f(x)
сложная, т.е.
,
то производная
примет
вид
согласно правилам нахождения производной
сложной функции. В этом случае выражение
(2) можно записать так:
(*)
где
-
сложная функция.
Приближенное вычисление с помощью дифференциала.
Согласно
выражению (1), приращение функции f(x)
можно записать в виде
,
откуда
(4)
Формула
(4) служит для приближенных вычислений
значений функции в заданной точке. По
сути дела это уравнение касательной к
кривой y
= f(x)
в точке
,
т.е. мы приближенно заменяем на участке
кривую y
= f(x)
отрезком касательной. Для вычисления
значения функции в точке х берут в
некоторой ее окрестности точку
,
такую, что не составляет труда найти
f(
)
и f’(
)/