45. Линейные преобразования(операторы). Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования.

Если задан закон или правило, по которому каждому вектору х из пространства Rⁿ ставится в соответствие единственный вектор у пространства R^m, то говорят, что задан оператор

Оператор называется линейным, если для любых векторов x,y пространства размерности n и любого числавыполняется равенство

1) - свойство аддитивности оператора

2) Свойство однородности оператора.

y=(x)- это образ вектора x, а сам вектор x называют прообразом вектора y

Если пространства Rⁿ и R^m совпадают, то оператор a отображает пространство размерности n в себя.

Выберем в пространстве Rⁿ базис e₁,e₂…e_n­. И , учитывая, что x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n, запишем разложение произвольного вектор x по базису.

В силу линейности оператораполучаем(x)=y₁e₁+y₂e₂+…+y_ne_n. Ввиду единственности разложения вектора по базису равны правые части равенства этих формул

y₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n

y₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n

y₃=a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n

46. Характеристическое уравнение матрицы линейного преобразования( оператора)

А=(a_ij) i=1,n ; j=1,n

Матрица F называется матрицей оператора в базисеe₁,e₂…,e_n

r(A)- ранг оператора

Таким образом каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное. Всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n- мерного пространства. Связь между вектором х и его образом y=(x) можно выразить в матричной форме уравнений

Y=A*X, где A- матрица линейного оператора

x=(x₁,x₂,…,x_n)^T| матрицы столбцы из координат векторов х и у

y=(y₁,y₂,…,y_n)^T|

Действия над линейными операторами

1. Суммой двух линейных операторов и e₁,e₂,e₃…e_n называется оператор

2. Произведением линейного оператора на числоназывается оператор*, определяемый равенством

3. Произведением линейных операторов называется оператор, определяемый равенством

Операторы, полученные в результате этих действий удовлетворяют отмеченным ранее свойствам аддитивности и однородности, а это значит являются линейными.

- линейный оператор, который переводит все векторы пространства размерности Rⁿ в нулевые векторы

- тождественный оператор( как единичный)

Матрицы A и A^* линейного оператора в базисах e₁,e₂…e_n и e₁*,e₂*…e_n* связаны соотношением A^*=C^-1*AC, где С- матрица перехода от старого базиса к новому

47. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Квадратичной формой f(x₁,x₂,…x_n) или L(x₁,x₂,…x_n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных , либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом.

Квадратичная матрица называется симметрической если a_ij=a_ji, т.е если равны элементы матрицы симметричные относительно главной диагонали.

Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы.

1.Все собственные числа симметрической матрицы действительны

2. Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.

3.Матрицей квадратичной формы называется матрица

Таким образом все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а векторы ортогональны.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Опр. Каноническим видом квадратичной формы называется следующий вид.

Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма примет канонический вид.

Пусть

e'₁=b₁₁e₁+b₂₁e₂+b₃₁e₃

e’₂=b₁₂e₁+b₂₂e₂+b₃₂e₃

e’₃=b₁₃e₁+b₂₃e₂+b₃₃e₃

Нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам матрицы в ортонормированном базисеe₁,e₂,e₃.

Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица B

В новом базисе матрица А примет диагональный вид( по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам

x₁’=b₁₁x₁+b₁₂x₂+b₁₃x₃

Получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам

Замечание1. С геом. Точки зрения рассмотренные преобразования представляют собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.

Замечание2. Если какие-либо собственные числа матрицы совпадают, то к соответствующим или ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них и построит таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.