Осень 13-весна 14 курс 1-2 ОрТОР (сейчас это называют ТОЛААД) / Матан / vopr_12_1

Вопрос 1,2.Теория множества. Операции над множествами.

Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое. Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение множества — «множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множества бывают конечные и бесконечные. Множества называются конечным, если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число n, являющееся числом элементов множества. А={a1, a2,a 3, ..., an}. Множество называется бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов. B={b1,b2,b3, ...}. Например, множество букв русского алфавита — конечное множество. Множество натуральных чисел — бесконечное множество.

число элементов в конечном множестве M называется мощностью множества M и обозначается |M|.Пустоемножество — множество, не содержащее ни одного элемента — ∅. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и тоже множество. Множества не равны X ≠ Y, если в Х есть элементы, не принадлежащие Y, или в Y есть элементы, не принадлежащие Х. Символ равенства множеств обладает свойствами:

• Х=Х; — рефлексивность

• если Х=Y, Y=X — симметричность

• если X=Y,Y=Z, то X=Z — транзитивность.

Согласно такого определения равенства множеств мы естественно получаем, что все пустые множества равны между собой или что то же самое, что существует только одно пустое множество.

Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или  множество А  является подмножеством множества  В ( в этом случае пишут А   В), если каждый элемент множества  А одновременно является элементом множества  В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества  А имеют место включения:      А  и  А   А .

• Сумма ( объединение ) множеств  А и В ( пишется  А   В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом,  е   А   В  тогда и только тогда, когда либо  е   А ,  либо  е   В .  

 

• Произведение ( пересечение ) множеств  А и В ( пишется  А   В , рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом,  е   А   В  тогда и только тогда, когда   е   А  и  е   В .

• Разность множеств А и В ( пишется  А – В , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В.Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

• Симметричная разность множеств А и В ( пишется  А \ В  ) есть множество:

А \ В  = ( А – В )   ( В – А ).

 Вопрос 3.Комплексные числа. Действия над КЧ в алг.форме.

Комплексные числа  записываются в виде:  a+ bi. Здесь  a и  b – действительные числа, а  i – мнимая единица, т.e.  i 2 = –1. Число  a называетсяабсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+ bi. Два комплексных числа  a+ bi и  a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Сложение.  Суммой комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di  называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложениикомплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

 

Вычитание.  Разностью двух комплексных чисел  a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

 

Умножение.  Произведением комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

 

  1)  числа  a+ bi  и  c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

  2)  число i  обладает основным свойством:  i ² = –1.

Деление. Разделить комплексное число  a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число  e+ f i  (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di,  даёт в результате делимое  a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р .  Найти  ( 8 + i ) : ( 2 – 3i ) .

Р е ш е н и е . Перепишем это отношение в виде дроби:    

                       Умножив её числитель и знаменатель на  2 + 3i                        

                       и выполнив все преобразования, получим:

 

                                

Вопрос 4.Тригонометрическая форма комплексного числа.Модуль и аргумент комплексного числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу  a и ординату b комплексного числа  a + bi  можно выразить через его модуль  r  и аргумент   :

 

 

Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

 

        Это знаменитая формула Муавра.

 

 

 

Здесь  k  - целое. Чтобы получить  n  различных значений корня  n-ой степени из  z  необходимо задать  n  последовательных значений для  k  ( например,  k = 0, 1, 2,…, n – 1 ) .

Вопрос 20. Аналитическое определение модуля и направляющих косинусов вектора через проекции.

• Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.

Если в пространстве задан вектор  , то его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

Здесь  ,   и   - углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей  ,   и   соответственно.

• Длиной (модулем) вектора   называется неотрицательное число, равное расстоянию между его началом и концом, то есть длина вектора - это длина отрезка  . Длина   обозначается 

• Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Вопрос 46.Характеристическое ур-е м-цы линейного преобразования.

Характеристическим многочленом преобразования или матрицы А называется многочлен  -й степени относительно  , имеющий вид  , где  - единичная матрица порядка  .

Характеристическим уравнением линейного преобразования f или матрицы А называется уравнение

,где  - матрица этого преобразования в некотором базисе, а его корни называются собственными числами линейного преобразования, а также матрицы  .

Вопрос 47.Квадратичные формы.Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Квадратичной формой от   переменных   называется симметрический однородный многочлен второй степени от этих переменных

,                           (3)

где  .

Если ввести матрицу из коэффициентов квадратичной формы (3) 

 

 

и матрицу-столбец из переменных

,

 

 

то, пользуясь правилом умножения матриц, квадратичную форму (3) можно записать в матричном виде

.

Привести квадратичную форму (9.8) к каноническому виду - значит представить ее следующим образом:

.         (4)

Матрица В, соответствующая квадратичной форме (4), диагональна.

Так как матрица   симметрическая вещественная, задача приведения к каноническому виду квадратичной формы (3) сводится к задаче приведения к диагональному виду матрицы симметрического линейного преобразования с помощью ортогональной матрицы (ортогонального преобразования).

Корни характеристического уравнения матрицы   называют характеристическими числами квадратичной формы (3), а направления собственных векторов, соответствующих характеристическим числам, главными направлениями квадратичной формы.

Правило нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму   переменных к каноническому виду:

1) записать квадратичную форму в симметрическом виде;

2) записать матрицу   квадратичной формы;

3) составить характеристическое уравнение  ;

4) найти собственные значения  ;

5) записать однородную систему уравнений   исли ввести матрицу из коэффициентов квадратичной формы (3) 

 

 

и матрицу-столбец из переменных

,

 

 

то, пользуясь правилом умножения матриц, квадратичную форму (3) можно записать в матричном виде

.

Привести квадратичную форму (9.8) к каноническому виду - значит представить ее следующим образом:

.         (4)

Матрица В, соответствующая квадратичной форме (4), диагональна.

Так как матрица   симметрическая вещественная, задача приведения к каноническому виду квадратичной формы (3) сводится к задаче приведения к диагональному виду матрицы симметрического линейного преобразования с помощью ортогональной матрицы (ортогонального преобразования).

Корни характеристического уравнения матрицы   называют характеристическими числами квадратичной формы (3), а направления собственных векторов, соответствующих характеристическим числам, главными направлениями квадратичной формы.

Правило нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму   переменных к каноническому виду:

1) записать квадратичную форму в симметрическом виде;

2) записать матрицу   квадратичной формы;

3) составить характеристическое уравнение  ;

4) найти собственные значения  ;

5) записать однородную систему уравнений   и найти собственные векторы матрицы  ;

6) образовать новый ортогональный базис из собственных векторов и составить ортогональную матрицу перехода  ;

7) записать канонический вид квадратичной формы.

найти собственные векторы матрицы  ;

6) образовать новый ортогональный базис из собственных векторов и составить ортогональную матрицу перехода  ;

7) записать канонический вид квадратичной формы.

Вопрос 48.Пов второго порядка.

Общее уравнение поверхности второго порядка  Ax2 + By2 + Cz2 + 2Fyz + 2Gzx + 2Hxy + 2Px + 2Qy + 2Rz + D = 0,  где x, y, z − координаты точек поверхности, A, B, C, ... − действительные числа