Вопрос 19. (Свойства геометрических векторов).

Геометрические скалярного произведения векторов:

1. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 а*в=0, а*в=|а||в| cos фи

2. Два не нулевых вектора составляют острый(тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение >(<) 0 cos=a*b\|a|*|b|

3. Квадрат длины вектора равен его скалярному произведению на самого себя. А^-2=а*а=|а|*|а|*cos фи=|а|*|а| cos а⁰= (а)*|a|=|a|²

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1. а=в*а – коммутативность

2. (L*a)*b=L*(a*b) – ассоциативность относительно числового множества.

3. (а*в)*с=а*с + в*с – дистрибутивность

4. а*а, а не равно 0, а*а=0, а=0.

При алгебраических обобщениях, эти 4 свойства лежат в основе определения скалярного произведения

.Если линейное пространство удовлетворяет им, то оно называется унитарным вещественном пространством, а формулы 2 и3 геометрических свойств служат для обобщения понятий угла и длины на пространствах.

Вопрос 20. (Аналитическое определение модуля и направляющих косинусов вектора через проекции).

Вопрос 21. (Линейные операции над векторами. Алгебраические и геометрические свойства).

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов. Пусть и– два произвольных вектора. Возьмем произвольную точкуО и построим вектор ; затем от точкиА отложим вектор . Вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называетсясуммой этих векторов и обозначается . Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точкиО векторы и. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограммОАСВ. Вектор – диагональ параллелограмма – является суммой векторови

Вычитание векторов. Разностью векторовиназывается такой вектор, который в сумме с векторомдает вектор:Û.

Если векторы ипривести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому»

Таким образом, если на векторах и, отложенных из общей точкиО, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме, а вектор, совпадающий с другой диагональю, – разности

Умножение вектора на число. Произведением вектора на действительное числоназывается вектор(обозначают), определяемый следующими условиями:

1)     ,

2)     приипри.

Очевидно, что при .

Из определения следует: два вектора иколлинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

Свойства линейных операций:

1)     ;

2)     ;

3)     ;;

4)     ;

5)     ;

6)     ;

7)     ;;

Пусть дан вектор .Ортом вектора (обозначается) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором.

Очевидно, для любого вектора.

Вопрос 22. (скалярное произведение векторов. Свойства).

Геометрические скалярного произведения векторов:

4. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 а*в=0, а*в=|а||в| cos фи

5. Два не нулевых вектора составляют острый(тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение >(<) 0 cos=a*b\|a|*|b|

6. Квадрат длины вектора равен его скалярному произведению на самого себя. А^-2=а*а=|а|*|а|*cos фи=|а|*|а| cos а⁰= (а)*|a|=|a|²

Алгебраические свойства скалярного произведения:

5. а=в*а – коммутативность

6. (L*a)*b=L*(a*b) – ассоциативность относительно числового множества.

7. (а*в)*с=а*с + в*с – дистрибутивность

8. а*а, а не равно 0, а*а=0, а=0.

При алгебраических обобщениях, эти 4 свойства лежат в основе определения скалярного произведения

.Если линейное пространство удовлетворяет им, то оно называется унитарным вещественном пространством, а формулы 2 и3 геометрических свойств служат для обобщения понятий угла и длины на пространствах.