Распределение мощности в цепи

Тот элемент в цепи, в котором ЭДС по направлению противоположному току (противоЭДС), является приемником энергии (например, аккумулятор, электродвигатель), и в нем происходит превращение электрической энергии в химическую ( в заряжающемся аккумуляторе) или механическую ( в электродвигателе).

I

Е_и,r_ви

Е_п,r_вп

+

-

Рис.1.10

Напряжение на зажимах источника, питающего приемник (аккумулятор, электродвигатель), будет (рис.1.10):

U

U_n

_u=E_u-Ir_ви=2IR+U_n=2IR_л+U_n=2IR_л+Ir_вп+Е_п

Так как , U_n= Ir_вп+Е_п

Где U_и - напряжение на зажимах источника;

U_п – напряжение на зажимах приемника; вследствие внутреннего падения напряжения, напряжение на зажимах источника меньше его ЭДС Е_и(U_и<Е_и), а на зажимах приемника больше его ЭДС Е_п (U_п>Е_п).

Е_и, Е_п – ЭДС источника и приемника.

R_л – сопротивление каждого провода линии.

Умножив последнее уравнение на значение тока в цепи I, получим уравнением распределение мощности в цепи: Uи=E_иI-I²r_ви=2I²R_л+U_nI=2I²R_л+I²r_вп+Е_пI;

Р_и=Р_л+Р_вп+Р_п

З

∆P=P_л+Р_вп

десьE_иI– электрическая мощность, развиваемая в источнике электрической энергии. Часть ее I²r_ви теряется (превращается в основном в тепло) внутри самого источника, а остальная мощность Р_и=U_иI отдается во внешнюю цепь. Мощность Р_л=2I²R_л превращается в тепло при передаче ( в проводах линии). Приемник получает мощность Р_п=U_nI, из которой I²r_вп=Р_вп соответствует тепловым потерям в приемнике, а часть E_пI=P_n представляет собой мощность, преобразуемую в химическую (аккумулятор) или механическую (электродвигатель) форму.

Общая мощность потерь в сети :

∆P=P_л+Р_вп

Потеря напряжения в проводах

Как видно из предыдущих рассуждений, напряжение U_и в начале линии (на зажимах источника) меньше ЭДС на величину падения напряжения в источнике энергии (U_и=Е_и-Ir_ви), а напряжение U_п на зажимах приемника меньше Uи на величину падения напряжения в линии.

Уменьшение напряжение при передаче электроэнергии по проводам называется изменением или потерей напряжения в линии и для цепей постоянного тока равно падению напряжения на соответствующем участком цепи.

Практически обычно рассчитывают отклонение напряжение от номинального значения при колебаниях нагрузки. Отклонение напряжения в сторону уменьшения ограничено тем, что при снижении напряжения значительно ухудшаются выходные характеристики потребителей электрической энергии, резко уменьшается световой поток лампы накаливания, электрические двигатели требуют токи, превосходящие номинальные.

При отклонении напряжении в сторону увеличения лампы накаливания, например, могут быстро выйти из строя, а электродвигатели будут работать ы недопустимых условиях.

Поэтому отклонения напряжения в промышленных сетях имеют жесткие допуски:

- в сторону уменьшения -2,5…5%;

- в сторону увеличения – 5%;

В бортовых сетях:

- постоянный ток (+5 … - 10%)=28В;

- переменный ток (+2…-3%)~200В;

В трехфазных генераторах последнего поколения ±0,5%.

Расчет линии по отклонениям напряжения для наибольшей и наименьшей нагрузок следующий:

- определение сечения проводов (может быть поставлена обратная задача: определение потерь и отклонения напряжения для линии при данных сечениях проводов и нагрузок);

-

I

выбор или проверка сечения проводов линии без их перегревания при протекании тока (здесь также может быть поставлена обратная задача: проверка имеющихся проводов определенного сечения на отсутствие перегрева).

E_H

r_n

I L

Рис.1.11

Напряжение в начале двухпроводной линии U_и (рис.1.11), соединяющей источник энергии с каким-либо приемником (например, электродвигателем, группой ламп и т.д., обозначаемых условно нагрузкой r_п), определится из формулы: U_п=U_и+2IR_л, отсюда U_и=U_п+2IR_л,

Где U_п – напряжение на конце линии (на зажимах приемника);

R_л – сопротивление каждого провода линии.

Разность напряжений в начале и конце линии U_и и U_п называется потерей напряжения в линии и обозначается ∆U_л:

∆U_л=U_и-U_п=21R_л

Из физики известно, что R_л=р(L/S), следовательно, ∆U_л=I(2рL/S),

Где L – длина одного провода в линии, м;

S – площадь поперечного сечения проводов, мм²;

Р – удельное сопротивление материалов проводов, Ом*мм²/м; (в системе СИ единицей удельного сопротивления р является Ом*м, 10мм=10^6 Ом*мм²/м).

Относительная потеря напряжения в линии, т.е. потеря напряжения в процентах определяется как ө=(∆U_л/U_u)*100=(I/U_U)*p*(2L/S)*100

Зная ток I и наибольшую допустимую потерю напряжения ∆Uл_доп, можно найти необходимое сечение проводов ∆Uл_доп=Iр(2L/S), отсюда S=I(2pL/∆Uл_доп)

Подсчитанное по этой формуле сечения проводника округляется до ближайшего стандартного (в сторону увеличения).

Потери мощности в линии:

∆P_л=∆U_лI=2I²R_л

η_л=Р_п/Р_и=(U_nI)/(U_uI)= U_n/U_u=(U_u-∆U_л)/ U_u=1-(∆U_л/ U_u)

С потерей напряжения и мощности в линии тесно связан коэффициент полезного действия линии η_л, определяемый как отношение отдаваемой линией приемнику мощности Р_п к получаемой ею от источника энергии мощности Р_и:

или в процентах:

η_л=100- ө

η_л=(1-(∆U_л/ U_u))*100=100--(∆U_л/ U_u)*100=100- ө

Чем меньше потери напряжения в линии

Тем больше КПД линии.

В

δр=ө

место КПД линии часто рассматривается величина (коэффициент) относительной потери мощности в ней.

δр=(∆P_л/Р_и)*100=(∆U_лI/ U_uI)= (∆U_л/ U_u)*100= ө;

то есть относительная потеря мощности в двухпроводной линии постоянного тока равно относительной потере напряжения в ней.

Из выражения для ө получаем при умножении числителя и знаменателя на U_u

Ө=(I/U_u)*p*(2L/S)*100=( U_uI/ U_u U_u)*p*(2L/S)*100=(P_u/U²₂)*p*(2L/S)*100

Отсюда видно, что при передаче данной мощности потери напряжения в проводах обратно пропорциональны к квадрату напряжения источника энергии.

Как видно из последнего выражения, с увеличением длины провода для передачи требуемой мощности при заданных потерях и приемлемом сечении проводов необходимо повышать напряжения U_u источника энергии. При этом относительная величина потери напряжения уменьшатся обратно пропорционально квадрату напряжения. Поэтому передача больших мощностей на дальнее расстояние осуществляется по линиям высокого напряжения.

3. Расчет электрических цепи при помощи уравнений Кирхгофа

Существует ряд методов расчета токов в разветвленной цепи. Все эти методы исследования цепей основаны на применение закона Ома и двух законов Г.Р. Кирхгофа, немецкого физика, основоположника спектрального анализа (1824-1887).

Первый закон Кирхгофа выражает факт непрерывности тока: ни в одной точки цепи не происходит накопление электрических зарядов.

Т

Рис.1.12

аким образом, в узле электрической цепи А, где сходятсяn проводов (рис.1.12), не может быть накопление зарядов, поэтому сумма зарядов, притекающих в любой момент времени к узлу А, равна сумме зарядов, уходящих от узла.

А

I_n-1

Алгебраическая сумма токов в проводах, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю, т.е. математически это можно выразить следующей записью:

ΣI_k=0 Где n – общее количество проводов, сходящихся в узле электрической цепи; k – порядковый номер провода.

При этом токи, текущие к узлу цепи, следует брать с одним знаком ( обычно считают их положительными), а токи, текущие от узла, - с другим знаком (отрицательными).

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между ЭДС, токами и сопротивлениями в любом замкнутом контуре, который можно выделить в рассматриваемой электрической цепи. Этот закон в математической форме выражает то, вытекающее из закона сохранения энергии положение, когда изменение потенциала при обходе замкнутого контура равно нулю, то есть устанавливается математическая связь между ЭДС, действующей в замкнутой электрической цепи, и произведениями токов в ветвях цепи на сопротивление ветвей.

A

r₄

r₂

B

r₁

E₁, r_в1

I₁

I₄

I₂

E₄, r_в4

E₂, r_в2

I₃

D

r₃

C

Рис.1.13

В рассматриваемой на рис.1.13 замкнутой электрической цепи ABCD действует три ЭДС: Е₁, Е₂ и Е₄, причем две из них Е₁ и Е₂ действуют согласно в одном направлении (по ходу контура), а третья Е₄– навстречу. Следовательно, выбрав направление обхода контура ABCD по часовой стрелке (показано внутри контура) и считая ЭДС, действующие в направлении обхода, положительными, а ЭДС, действующие в обратном направлении, - отрицательными, определим результирующую ЭДС:

Е=Е₁+Е₂-Е₄

Результирующая ЭДС Е будет затрачиваться на проведение тока в ветвях цепи и в соответствии с законом Ома будет равно сумме произведений токов на сопротивления ветвей:

Е=I₁(r₁+r_в1)+I₂(r₂+r_в2)-I₃r₃-I₄(r₄+r_в4)

В правой части равенства произведения токов I₃ и I₄ на соответствующие сопротивления взяты со знаком минус, т.к. эти токи протекают против принятого направления обхода контура.

Для цепи, имеющей n ветвей, получим равенство:

ΣЕ_к=ΣI_kr_k

Математически выражающее второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в ветвях этого контура.

I

r₁

r₂

r₃

r₄

U₁

U₂

U₃

U₄

E_и,r_в

U_u=E_u-Ir

Рис.1.14

Для электрической цепи с последовательным соединением резисторов (рис.1.14) по второму закону Кирхгофа можно записать выражение:

U_u=U₁+U₂+U₃+u₄=Ir₁+Ir₂+Ir₃+Ir₄=I(r₁+r₂+r₃+r₄)=IR_э^посл

Или

Е_и=I(R_э^посл+r_в)

Отсюда следует, что при последовательном соединении резисторов общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений этих резисторов:

I

ΣR_э=r_к

E_u, r_в

U₂

U₃

U₄

U_u

I₂

I₃

I₄

r₂

r₃

йr₄

I

Рис.1.15

Для электрической цепи с параллельным соединением резисторов (рис.1.15) напряжения на их зажимах одинаково:

U_и=U₁=U₂=U₃=U₄=I₁r₁+ I₂r₂+ I₃r₃+ I₄r₄=U

В соответствии с первым законом Кирхгофа ток цепи I равен сумме токов параллельных ветвей:

I=I₁+I₂+I₃+I₄

Применяя закон Ома для каждой ветви (участка цепи) получим:

I=U/r₁+U/r₂+U/r₃+U/r₄=U(1/r₁+1/r₂+1/r₃+1/r₄)=U(q₁+q₂+q₃+q₄)=Uq^парал_э

Где q^парал_э – общая (эквивалентная) проводимость цепи при параллельном соединении резисторов.

Отсюда следует, что при параллельном соединении резисторов общая проводимость цепи равна сумме проводимостей параллельных ветвей: q^парал_э=Σq_k

Или R_э^парал=1/q_э^парал=1/ Σq_k=1/((1/r₁)+ (1/r₂)+… (1/r_n))

Из выражения для токов в каждой параллельной ветви получим: I₁=U(1/r₁)=Uq₁=IR_э^паралq₁=I(q₁/ q^парал_э)

I₂=U(1/r₂)=Uq₂=IR_э^паралq₂=I(q₂/ q^парал_э); I₃=U(1/r₃)=Uq₃=IR_э^паралq₃=I(q₃/ q^парал_э);

I_n=U(1/r_n)=Uq_n=IR_э^паралq_n=I(q_n/ q^парал_э)

Отсюда можно заметить, что если дан общий ток I, то отдельные токи в ветвях I₁, I₂,…,I_n распределяется пропорционально проводимостям резисторов.

Мощность цепи с параллельным соединением резисторов складывается из мощностей отдельных ветвей:

P=ΣP_k=ΣI_k²r_k=ΣU²q_k

С

I₂

мешанное соединение резисторов в цепи постоянного тока представлено на рис.1.16.

а

б

r₁

r₂

I

I₃

I₂

I₁=I

r₃

I

E_,r_в1

Рис.1.16

В начале вычислим сопротивление участка а-б с параллельным соединением

r_об=1/((1/r₂)+(1/r₃)=(r₂r₃)/ (r₂+r₃)

Общее сопротивление цепи определится как эквивалентное сопротивление при последовательном соединении резисторов:

R_э^смеш=r₁+r_аб=r₁+((r₂r₃)/ (r₂+r₃))

Из данного примера для смешанного соединения резисторов в простой электрической цепи следует метод определения эквивалентного сопротивления в общем случае при сколько угодно большем числе участков цепи.

Суть его заключается в строгой последовательности вычисления расчетов цепи: сначала находятся эквивалентные сопротивления участков, затем эквивалентное сопротивление всей цепи определяется как сумма найденных эквивалентных сопротивлений и сопротивлений других одиночных резисторов, включенных последовательно.

И

I₁

а

I₂

сточники энергии называются включенными параллельно, если у них ЭДС направлены к одному и тому же узлу (рис.1.17). Иначе говоря, все положительные зажимы источников должны быть присоединены к одному узлу, а все отрицательные – к другому (на борту ВС плюс на шине и минус на корпусе соответственно).

+

+

Р

б

I

U

r

E₁ r_в1

E₂ r_в2

-

ис.1.17

-

Распределение тока нагрузки I между параллельно соединенными источниками зависит от их ЭДС и внутренних сопротивлений.

Напряжение U на зажимах а,б связано с ЭДС и внутренними сопротивлениями источников следующим соотношениями:

U=E₁-I₁r_в1

U= E₂-I₂r_в2

Отсюда

E₁-I₁r_в1= E₂-I₂r_в2

Или

E₁- E₂= I₁r_в1-I₂r_в2

Причем по первому закону Кирхгофа

I=I₁-I₂ или I₂=I-I₁.

Подставляя выражение для I₂ в предыдущее уравнение, получим:

Е₁-Е₂= I₁r_в1-(I-I₁)r_в2= I₁r_в1- Ir_в2- I₁r_в2=I₁(r_в1- r_в2)- Ir_в2

Отсюда:

I=(Е₁-Е₂+ Ir_в2)/ (r_в1+r_в2)

Или

I₁=(( Е₁-Е₂)/ (r_в1+r_в2))/(I*(r_в1/( r_в1+r_в2))

Аналогично для тока I2 получим:

I₂=(( Е₂-Е₁)/ (r_в1+r_в2))/(I*(r_в1/( r_в1+r_в2))

Первый член правых частей выражений для I₂ и I₁ представляет собой ток соответствующего источника при отсутствии нагрузки (если I=0, то r→∞, что может быть при разрыве цепи нагрузки), при этом если Е₁=Е₂, токи источников равны нулю, т.е. I₁=I₂=0/

Второй член правой части этих выражений определяет по существу распределение тока I между двумя параллельно включенными сопротивлениями r_в1 и r_в2, при этом если Е₁=Е₂=0 (при условии 0≤r<∞), ток нагрузки распределяется между источниками энергии обратно пропорционально их внутренним сопротивлениям, а если Е₁≠Е₂, то в цепи источников появляется ещё уравнительный ток, выражаемый первым членом правой части рассматриваемых формул:

I_y1=( Е₁-Е₂) /( r_в1+r_в2); I_y2=( Е₂-Е₁) /( r_в1+r_в2);

Направление уравнительных токов зависит от знака числителя в формулах, определяющих их количественное значение, т.е. численного соотношения Е₁ и Е₂.

Рассмотрим применение закона Кирхгофа для расчета сложных электрических цепей. Общей задачей расчета является определение токов во всех участках сложной цепи ( т.е. цепи, имеющей сложную конфигурацию) при заданных параметрах элементов цепи в известной её конфигурации.

Рассматриваемый метод заключается в составлении уравнений по первому и второму закону Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи. При решении этих уравнений находятся неизвестные точки ветвей.

Общее правило составления уравнения:

1. Общее число уравнений исходя из правил их решения должно быть равно числу неизвестных токов (определяемых значений токов в ветвях цепи), т.е. числу ветвей цепи;

2. Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона Кирхгофа, равно числу узлов цепи, уменьшенному на единицу;

3. Недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. При этом следует начинать с наиболее простого контура и следить за тем, чтобы каждый следующий контур, для которого пишется уравнение, содержал хотя бы одну ветвь, не вошедшую в уже обойденные контуры.

Практически число уравнение, которые можно составить по первому и второму законам Кирхгофа, всегда больше числа неизвестных токов, равного числу ветвей цепи.

Поэтому желательно заранее составить рациональную систему уравнение, то есть установить, сколько уравнений следует написать по первому и сколько по второму законам Кирхгофа для получения систему уравнений, имеющей определенные решения.

Исследуем сложную цепь, изображенную на рис 1.18.

3

I₁

r₁

A

I₃

r₃

1

2

E₁, r_в1

E₃, r_в3

E₂, r_в2

B

Рис.1.18

Будем считать неизвестным значения ЭДС, Е₁, Е₂, Е₃, внутренние соединения источников энергии r_в1, r_в2, r_в3, а также соединения ветвей r₁, r₂, r₃. Следует определить токи в трех ветвях цепи I₁, I₂, I₃.

Предварительно зададимся направлением токов в ветвях (на рис.1.18 токи I₁ и I₂ направлены вверх к узлу А, а ток I₃ – к узлу В). Если выбранные (предположительно) направления токов окажутся противоположными действительным (реальным), то при решении уравнений получим значение этих токов со знаком минус. Это будет свидетельствовать о том, что соответствующие токи текут в обратных направлениях.

Так как цепь имеет два узла (А и В), то по первому закону Кирхгофа можно составить только одно уравнение (число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть на единицу меньше числа узлов в цепи). Это правило вытекает из следующих тривиальных рассуждений: каждая ветвь цепи всегда соединяет два узла, и ее ток является для одного из этих узлов положительным (направленным к узлу, например, токи I₁ и I₂ к узлу А), для другого отрицательным (те же токи, направленные от узла В).

Поэтому если написать по первому закону Кирхгофа уравнение для всех узлов цепи (в нашем случае для узлов А и В), то каждый ток войдёт в эти уравнения дважды: один раз как положительный, а другой как отрицательный, а сумма левых частей полученных уравнений будет тождественно равно нулю. Отсюда выходит, что уравнение для узлов А и В совершенно одинаковы:

I₁+I₂-I₃=0 – для узла А

Или

-I₁-I₂+I₃=0 – для узла В

Первую запись уравнения (для узла А) берем за основу и включаем в составляемую систему (хотя в принципе безразлично, какая запись уравнения войдет в систему).

Для определения трех неизвестных токов надо составить еще два уравнения по второму закону Кирхгофа. Эти оставшиеся два уравнения можно составить для любых двух контуров из имеющихся трех для данной конфигурации цепи. Целесообразно написать два уравнения для контура 1 и 2.

Казалось бы, что третье уравнение можно составить и для контура 3, (хотя оно и лишнее, так как для определения трех неизвестных уже есть достаточное количество уравнений), но третье уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа явилось бы следствием первых двух, то есть для данной цепи можно составить только два линейно-независимых уравнения, так как в третьем контуре уже нет ветвей, встречающихся впервые при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа.

Выбрав положительное направление обхода этих контуров (по часовой стрелке), составим уравнения: I₁( r₁+r_в1)- I₂( r₂+r_в2)=E₁-E₂; I₂( r₂+r_в2)+I₃( r₃+r_в3)=E₂-E₃

Совместное решение уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, дает возможность определить токи I₁, I₂ и I₃.

Для упрощения решения записи при проведении расчетов примем укороченную запись выражений, входящих в эти уравнения, например: r₁+r_в1=R₁; r₂+r_в2=R₂; r₃+r_в3=R₃;

E₁-E₂=∆E’; E₂-E₃=∆E’’.

В результате получим систему:

I₁+I₂-I₃=0;

I₁R₁-I₂R₂=∆E’;

I₂R₂+ I₃R₃=∆E’’.

Решив полученную систему уравнений путем несложных математических преобразований, можно найти все три тока в ветвях цепи:

I₁=(∆E’(R₂+R₃)+ R₂∆E’’)/(R₁R₂+ R₂R₃+ R₃R₁);

I₂=(∆E’’R₁-∆E’R₃)/ (R₁R₂+ R₂R₃+ R₃R₁);

I₃=-(∆E’’R₃-∆E’(R₁+R₂))/ (R₁R₂+ R₂R₃+ R₃R₁);

И в развернутом виде через параметры элементов цепи:

I₁=((E₁-E₂)*(r₂+r_в2+ r₃+r_в3)+(E₂-E₁)*( r₂+r_в2))/(( r₁+r_в1)*(r₂+r_в2)+ (r₂+r_в2)* (r₃+r_в3)+ (r₃+r_в3)* ( r₁+r_в1));

I2=((E₂-E₃)*(r₁+r_в1)-(E₁-E₂)*( r₃+r_в3))/(( r₁+r_в1)*(r₂+r_в2)+ (r₂+r_в2)* (r₃+r_в3)+ (r₃+r_в3)* ( r₁+r_в1));

I3=((E₁-E₂)*( r₃+r_в3)+(E₂-E₃)*( r₁+r_в1+ r₂+r_в2))/(( r₁+r_в1)*(r₂+r_в2)+ (r₂+r_в2)* (r₃+r_в3)+ (r₃+r_в3)* ( r₁+r_в1));

Метод расчета цепи, состоящей, как показано на примере только из трех ветвей, путем решения уравнений по закону Кирхгофа является достаточно трудоемким. Усложнение конфигурации цепи значительно усложняет и ее расчет. Так, например, для цепи, имеющей пятнадцать ветвей, требуется составить и решить систему из 15 уравнений.

Поэтому непосредственное применение законов Кирхгофа для определения токов в сложных разветвленных цепях требует совместного решения значительного числа уравнений, что естественно связано с большой затратой времени при ручном расчете ( т.е. без применения вычислительной техники с соответствующим программным обеспечением). Существует, однако, ряд методов, в основе которых лежат те же законы Кирхгофа, но они позволяют избежать решения системы уравнений или уменьшить число уравнений, подлежащих решению и, таким образом, значительно упростить процесс расчета сложных электрических цепей. К таким методам относятся наиболее распространенные в практике вычислений методы контурных токов, наложения и узловых напряжений.