Вступительный экзамен 2018 / Раздел 17 (ответы)

Раздел 17. Вычеты. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

Вычислить:

1. 

Особые точки подынтегральной функции:

Контур интегрирования представляет из себя окружность на комплексной плоскости с центром в начале координат и радиусом .

Особая точка подынтегральной функции принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования. Тогда:

– существенно особая точка, т.к. главная часть ряда Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.

Тогда искомый интеграл равен

Ответ:

2. 

Особые точки подынтегральной функции:

Контур интегрирования представляет из себя окружность на комплексной плоскости с центром в точке и радиусом .

Особые точки подынтегральной функции принадлежат области, ограниченной контуром интегрирования. Тогда:

Определим тип особых точек

– полюса функции, определим их порядок.

Порядок полюсов для функции равен порядку нулей для функции

Для функции точки – нули первого порядка. Таким образом для функции точки простые полюса.

Вычет для простого полюса найдем по формуле:

Тогда искомый интеграл равен:

Ответ:

3. 

Особые точки подынтегральной функции:

Контур интегрирования представляет из себя окружность на комплексной плоскости с центром в точке и радиусом .

Особая точки подынтегральной функции принадлежат области, ограниченной контуром интегрирования. Тогда:

Определим тип особой точки . Воспользуемся разложением в ряд Лорана:

Точка является простым полюсом, так как номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности точки равен единице.

Тогда искомый интеграл равен

Ответ:

4. 

Особые точки подынтегральной функции:

Контур интегрирования представляет из себя окружность на комплексной плоскости с центром в начале координат и радиусом .

Особая точки подынтегральной функции принадлежат области, ограниченной контуром интегрирования. Тогда:

Определим тип особой точки . Воспользуемся разложением в ряд Лорана:

Точка является существенно особой точкой, так как главная часть ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности точки содержит бесконечное число членов.

Тогда искомый интеграл равен

Ответ:

5. 

Найдем особые точки подынтегральной функции:

Контур интегрирования представляет из себя окружность на комплексной плоскости с центром в начале координат и радиусом .

Особая точка подынтегральной функции принадлежат области, ограниченной контуром интегрирования. Тогда:

Определим тип особой точки

– устранимая особая точка.

Вычет в устранимой особой точке равен:

Ответ:

6. 

Подынтегральная функция представляет из себя частное двух многочленов, со степенью числителя и степенью знаменателя . Так как подынтегральная функция не имеет особых точек на действительной оси и , то справедливо равенство:

где – особые точки функции , расположенные выше оси Ox.

Найдем особые точки функции

Выше оси Ох расположена одна особая точка , определим ее тип:

– полюс функции. Определим его порядок. Для того чтоб точка была полюсом порядка n функции , необходимо и достаточно, чтобы:

Тогда

Таким образом, – полюс второго порядка.

Вычет для полюса второго порядка определим по формуле:

Тогда искомый интеграл равен

Ответ:

7. 

Функция представляет из себя частное двух многочленов, со степенью числителя и степенью знаменателя . Так как подынтегральная функция не имеет особых точек на действительной оси и , то справедливо равенство:

где – особые точки функции , расположенные выше оси Ox.

Найдем особые точки функции :

Выше оси Ох расположена одна особая точка , определим ее тип:

– полюс функции. Определим его порядок. Для того чтоб точка была полюсом порядка n функции , необходимо и достаточно, чтобы:

Тогда

Таким образом, – простой полюс.

Вычет для простого полюса определим по формуле:

Тогда искомый интеграл равен

Ответ:

8. 

Перейдем от интеграла от действительной переменной к интегралу по замкнутой кривой от функции комплексного переменного:

Найдем особые точки подынтегральной функции:

Контур интегрирования представляет из себя окружность на комплексной плоскости с центром в начале координат и радиусом .

Особая точка подынтегральной функции принадлежат области, ограниченной контуром интегрирования. Тогда:

Так как для функции точка нуль первого порядка, то для функции точка – простой полюс.

Вычет для простого полюса определим по формуле:

Тогда искомый интеграл равен

Ответ:

9. 

Подынтегральная функция представляет из себя частное двух многочленов, со степенью числителя и степенью знаменателя . Так как подынтегральная функция не имеет особых точек на действительной оси и , то справедливо равенство:

где – особые точки функции , расположенные выше оси Ox.

Найдем особые точки функции

Выше оси Ох расположены две особые точки и , определим их тип:

– полюс функции.

Так как для функции точка нуль первого порядка, то для функции точка – простой полюс.

– полюс функции.

Так как для функции точка нуль первого порядка, то для функции точка – простой полюс.

Вычет для простых полюсов определим по формуле:

Тогда искомый интеграл равен

Ответ:

10. 

Функция представляет из себя частное двух многочленов, со степенью числителя и степенью знаменателя . Так как подынтегральная функция не имеет особых точек на действительной оси и , то справедливо равенство:

где – особые точки функции , расположенные выше оси Ox.

Найдем особые точки функции :

Выше оси Ох расположена одна особая точка , определим ее тип:

– полюс функции. Определим его порядок. Для того чтоб точка была полюсом порядка n функции , необходимо и достаточно, чтобы:

Тогда

Таким образом, – простой полюс.

Вычет для простого полюса определим по формуле:

Тогда искомый интеграл равен

Ответ: