Вступительный экзамен 2018 / Раздел 17 (ответы)
.docxРаздел 17. Вычеты. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Вычислить:
Особые точки подынтегральной функции:
Контур интегрирования представляет из себя окружность на комплексной плоскости с центром в начале координат и радиусом .
Особая точка подынтегральной функции принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования. Тогда:
– существенно особая точка, т.к. главная часть ряда Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.
Тогда искомый интеграл равен
Ответ:
Особые точки подынтегральной функции:
Контур интегрирования представляет из себя окружность на комплексной плоскости с центром в точке и радиусом .
Особые точки подынтегральной функции принадлежат области, ограниченной контуром интегрирования. Тогда:
Определим тип особых точек
– полюса функции, определим их порядок.
Порядок полюсов для функции равен порядку нулей для функции
Для функции точки – нули первого порядка. Таким образом для функции точки простые полюса.
Вычет для простого полюса найдем по формуле:
Тогда искомый интеграл равен:
Ответ:
Особые точки подынтегральной функции:
Контур интегрирования представляет из себя окружность на комплексной плоскости с центром в точке и радиусом .
Особая точки подынтегральной функции принадлежат области, ограниченной контуром интегрирования. Тогда:
Определим тип особой точки . Воспользуемся разложением в ряд Лорана:
Точка является простым полюсом, так как номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности точки равен единице.
Тогда искомый интеграл равен
Ответ:
Особые точки подынтегральной функции:
Контур интегрирования представляет из себя окружность на комплексной плоскости с центром в начале координат и радиусом .
Особая точки подынтегральной функции принадлежат области, ограниченной контуром интегрирования. Тогда:
Определим тип особой точки . Воспользуемся разложением в ряд Лорана:
Точка является существенно особой точкой, так как главная часть ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности точки содержит бесконечное число членов.
Тогда искомый интеграл равен
Ответ:
Найдем особые точки подынтегральной функции:
Контур интегрирования представляет из себя окружность на комплексной плоскости с центром в начале координат и радиусом .
Особая точка подынтегральной функции принадлежат области, ограниченной контуром интегрирования. Тогда:
Определим тип особой точки
– устранимая особая точка.
Вычет в устранимой особой точке равен:
Ответ:
Подынтегральная функция представляет из себя частное двух многочленов, со степенью числителя и степенью знаменателя . Так как подынтегральная функция не имеет особых точек на действительной оси и , то справедливо равенство:
где – особые точки функции , расположенные выше оси Ox.
Найдем особые точки функции
Выше оси Ох расположена одна особая точка , определим ее тип:
– полюс функции. Определим его порядок. Для того чтоб точка была полюсом порядка n функции , необходимо и достаточно, чтобы:
Тогда
Таким образом, – полюс второго порядка.
Вычет для полюса второго порядка определим по формуле:
Тогда искомый интеграл равен
Ответ:
Функция представляет из себя частное двух многочленов, со степенью числителя и степенью знаменателя . Так как подынтегральная функция не имеет особых точек на действительной оси и , то справедливо равенство:
где – особые точки функции , расположенные выше оси Ox.
Найдем особые точки функции :
Выше оси Ох расположена одна особая точка , определим ее тип:
– полюс функции. Определим его порядок. Для того чтоб точка была полюсом порядка n функции , необходимо и достаточно, чтобы:
Тогда
Таким образом, – простой полюс.
Вычет для простого полюса определим по формуле:
Тогда искомый интеграл равен
Ответ:
Перейдем от интеграла от действительной переменной к интегралу по замкнутой кривой от функции комплексного переменного:
Найдем особые точки подынтегральной функции:
Контур интегрирования представляет из себя окружность на комплексной плоскости с центром в начале координат и радиусом .
Особая точка подынтегральной функции принадлежат области, ограниченной контуром интегрирования. Тогда:
Так как для функции точка нуль первого порядка, то для функции точка – простой полюс.
Вычет для простого полюса определим по формуле:
Тогда искомый интеграл равен
Ответ:
Подынтегральная функция представляет из себя частное двух многочленов, со степенью числителя и степенью знаменателя . Так как подынтегральная функция не имеет особых точек на действительной оси и , то справедливо равенство:
где – особые точки функции , расположенные выше оси Ox.
Найдем особые точки функции
Выше оси Ох расположены две особые точки и , определим их тип:
– полюс функции.
Так как для функции точка нуль первого порядка, то для функции точка – простой полюс.
– полюс функции.
Так как для функции точка нуль первого порядка, то для функции точка – простой полюс.
Вычет для простых полюсов определим по формуле:
Тогда искомый интеграл равен
Ответ:
Функция представляет из себя частное двух многочленов, со степенью числителя и степенью знаменателя . Так как подынтегральная функция не имеет особых точек на действительной оси и , то справедливо равенство:
где – особые точки функции , расположенные выше оси Ox.
Найдем особые точки функции :
Выше оси Ох расположена одна особая точка , определим ее тип:
– полюс функции. Определим его порядок. Для того чтоб точка была полюсом порядка n функции , необходимо и достаточно, чтобы:
Тогда
Таким образом, – простой полюс.
Вычет для простого полюса определим по формуле:
Тогда искомый интеграл равен
Ответ: