Вступительный экзамен 2018 / Раздел 12 (ответы)

Раздел 12. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Решить уравнение

Ответ:

2. Решить уравнение:

Ответ:

3. Решить задачу Коши

Произведем замену:

Произведем обратную замену:

Решим задачу Коши:

Ответ:

4. Найти общий интеграл уравнения

Произведем замену:

Произведем обратную замену:

Ответ:

5. Решить задачу Коши

Найдем решение однородного уравнения:

Заменим константу на некоторую функцию :

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

Таким образом общее решение исходного уравнения:

Решим задачу Коши:

Ответ:

6. Решить задачу Коши

Произведем замену:

Найдем решение однородного уравнения:

Заменим константу на некоторую функцию :

Подставим полученные выражения в нелинейное уравнение:

Таким образом общее решение нелинейного уравнения:

Произведем обратную замену:

Решим задачу Коши:

Ответ:

7. Найти общее решение уравнения:

Произведем замену:

Найдем решение однородного уравнения:

Заменим константу на некоторую функцию :

Подставим полученные выражения в нелинейное уравнение:

Таким образом общее решение нелинейного уравнения:

Произведем обратную замену:

Ответ:

8. Решить задачу Коши

Найдем решение однородного уравнения:

Заменим константу на некоторую функцию :

Подставим полученные выражения в нелинейное уравнение:

Таким образом общее решение нелинейного уравнения:

Решим задачу Коши:

Ответ:

9. Найти общее решение уравнения:

Ответ:

10. Найти общее решение уравнения:

Произведем замену: ь

Найдем решение однородного уравнения:

Заменим константу на некоторую функцию :

Подставим полученные выражения в нелинейное уравнение:

Таким образом общее решение нелинейного уравнения:

Произведем обратную замену:

Ответ: