Вступительный экзамен 2018 / Раздел 10 (ответы)

Раздел 10. Вычисление площадей плоских фигур.

1. Область ограничена кривыми: . Найти ее площадь.

Найдем точку пересечения кривых :

Для кривых выразим через :

Площадь, ограниченная заданными кривыми равна:

2. Область ограничена кривыми: . Найти ее площадь.

Найдем точку пересечения кривых:

Площадь, ограниченная заданными кривыми равна:

3. Область ограничена кривыми: . Найти ее площадь.

Найдем точки пересечения кривых :

Найдем точку пересечения кривой с :

Найдем точку пересечения кривой с :

Площадь, ограниченная заданными кривыми равна:

4. Область ограничена кривыми: . Найти ее площадь.

Найдем точки пересечения кривых :

Определим с какой из кривых , в точке пересекается кривая :

Площадь, ограниченная заданными кривыми равна:

5. Найти площадь фигуры, если ее границей является кривая:

Определим промежутки монотонности функции на интервале :

Определим знак функции y на интервале :

Найдем площадь по формуле:

6. Найти площадь фигуры, если ее границей является кривая:

Найдем искомую площадь как умноженная на 4 площадь части фигуры, расположенной в первой четверти.

Определим промежутки монотонности функции на интервале (в первой четверти):

Определим знак функции y на интервале :

Найдем площадь по формуле:

7. Найти площадь фигуры, если ее границей является кривая:

Определим промежутки монотонности функции на интервале :

Определим знак функции y на интервале :

Найдем площадь по формуле:

Примечание. При определение интеграл берется с минусом, т.к. на интервале интегрирования функция монотонно убывает. При определение и интеграл берется с минусом, т.к. они представляют из себя площади пространства ниже искомой фигуры (т.е. не входят в искомую фигуру).

Искомая площадь равна:

Ответ:

8. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах как

Ответ:

9. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах как

Ответ:

10. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

Так как заданные кривые представляют из себя две прямые и две окружности, для упрощения расчетов перейдем к полярным координатам:

Кривая в полярных координатах имеет вид:

Кривая в полярных координатах имеет вид:

Кривая в полярных координатах имеет вид:

Кривая в полярных координатах имеет вид:

Пересечение заданных кривых образует кольцо, разделенное на 4 сектора. Таким образом условие задачи может подразумевать как нахождение площади двух противолежащих секторов меньшей площади, так и большей. Рассмотри оба случая.

Первый случай.

Фигура ограничена кривыми:

Второй случай. Фигура ограничена кривыми:

Ответ :первый случай (меньшие секторы кольца): второй случай (меньшие секторы кольца):

11. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

Перейдем к полярным координатам:

Кривая в полярных координатах имеет вид:

Кривая в полярных координатах имеет вид:

Ответ