3.8 Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции

Производной на каждом из четырех промежутков:

Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции

Определим знак второй производной на каждом из трех промежутков:

4)

Найдем область определения функции.

Область определения

Проверим функцию на четность/нечетность

Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:

и

Функция не является периодичной

Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот

Найдем предел слева для

Найдем предел справа для

Таким образом в точке функция терпит разрыв второго рода; также является вертикальной асимптотой.

Проверим наличие горизонтальных асимптот при и

Таким образом функция имеет горизонтальную асимптоту при и .

Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)

Функция пересекается с осью абсцисс в точке .

Определим промежутки знакопостоянства.

Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции

Определим знак производной на каждом из трех промежутков:

При :

при :

при :

Таким образом функция убывает при и возрастает при . Точка является точкой минимума функции. В этой точке функция принимает значение:

Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции

Определим знак второй производной на каждом из трех промежутков:

При :

при :

при :

Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при . Точка является точкой перегиба функции. В этой точке функция принимает значение:

Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.

Таблица 2.4.

						0
	+		+	0	+		+
		Точка минимума		Пересечение с осью Ох		Вертикальная асимптота
	Горизонтальная асимптота						Горизонтальная асимптота

Область определения

Проверим функцию на четность/нечетность

Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:

и

Функция не является периодичной

Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот

Так как область определения , то функция не имеет точек разрыва.

Проверим наличие горизонтальных асимптот при и

Функция имеет горизонтальную асимптоту при . При горизонтальной асимптоты нет,

Проверим наличие наклонных асимптот при , где уравнение асимптоты имеет вид

Так как предел не конечен, то при наклонной асимптоты нет.

Таким образом заданная функция имеет только одну горизонтальную асимптоту . При этом при функция стремится к .

Определим точки пересечения функции с осями абсцисс (Оx) и ординат (Оy)

Функция пересекается с осями в точке .

Определим промежутки знакопостоянства.

Для этого определим знак функции на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция расположена выше оси абсцисс при

Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции

Определим знак производной на каждом из трех промежутков:

При :

при :

при :

Таким образом функция убывает при и возрастает при .

Максимум функции:

Минимум функции

В этих точках функция принимает значения:

Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции

Определим знак второй производной на каждом из трех промежутков:

При :

при :

при :

Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при . Точки и являются точками перегиба функции. В этих точках функция принимает значение:

Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.

Таблица 2.5.

	+		+		+		+	0	+
		Точка перегиба.		Точка максимума		Точка перегиба		Пересечение с осями Ох и Oy. Точка минимума
	Горизонтальная асимптота

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, тогда:

Область определения

Проверим функцию на четность/нечетность

Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:

и

Функция не является периодичной

Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот

Найдем предел слева для

Найдем предел справа для

Таким образом в точке функция терпит разрыв второго рода; также является вертикальной асимптотой.

Проверим наличие горизонтальных асимптот при и

Функция имеет горизонтальную асимптоту при . При горизонтальной асимптоты нет.

Проверим наличие наклонной асимптоты при , где уравнение асимптоты имеет вид

Так как предел не конечен, то при наклонной асимптоты нет.

Таким образом заданная функция имеет одну вертикальную асимптоту и в точке функция терпит разрыв второго рода (при этом слева стремится к , а справа к ). При функция имеет горизонтальную асимптоту . При асимптот нет и функция стремится к .

Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)

Функция не пересекается с осью абсцисс.

Определим точки пересечения функции с осью ординат (Оy)

Так как в точке функция терпит разрыв второго рода, то функция не имеет точек пересечения с осью ординат.

Определим промежутки знакопостоянства.

Для этого определим знак функции на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция расположена ниже оси абсцисс при и выше при .

Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции

Определим знак производной на каждом из трех промежутков:

При :

при :

при :

Таким образом функция убывает при и возрастает при . Точка является точкой минимума функции. В этой точке функция принимает значение:

Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции

Определим знак второй производной на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при . Точек перегиба функции нет.

Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.

Таблица 2.6.

				1
	-		+		+
		Вертикальная асимптота		Точка минимума
	Горизонтальная асимптота

Область определения

Проверим функцию на четность/нечетность

Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:

и

Функция не является периодичной

Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот

Так как область определения , то функция не имеет точек разрыва.

Проверим наличие горизонтальных асимптот при и

Функция имеет горизонтальную асимптоту при . При горизонтальной асимптоты нет,

Проверим наличие наклонных асимптот при , где уравнение асимптоты имеет вид

Так как предел не конечен, то при наклонной асимптоты нет.

Таким образом заданная функция имеет только одну горизонтальную асимптоту . При этом при функция стремится к .

Определим точки пересечения функции с осями абсцисс (Оx) и ординат (Оy)

Функция пересекается с осями в точках и .

Определим промежутки знакопостоянства.

Для этого определим знак функции на каждом из трех промежутков:

При :

при :

при :

Таким образом функция расположена ниже оси абсцисс при и выше при

Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции

Определим знак производной на каждом из трех промежутков:

При :

при :

при :

Таким образом функция убывает при и возрастает при .

Максимум функции:

Минимум функции

В этих точках функция принимает значения:

Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции

Определим знак второй производной на каждом из трех промежутков:

При :

при :

при :

Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при . Точки и являются точками перегиба функции. В этих точках функция принимает значение:

Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.

Таблица 2.7.

						0				1
	+	0,597	+	0,840	+	0	-	-0,438	-	0	+
		Точка перегиба		Точка максимума		Пересечение с осями Ох и Oy. Точка перегиба		Точка минимума		Пересечение с осью Ох
	Горизонтальная асимптота

Найдем область определения функции:

Проверим функцию на четность/нечетность

Заданная функция является четной функцией, так как выполняется условия четности:

Функция является периодичной (период равен )

Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот

Найдем предел слева для

Найдем предел справа для

В точках , () функция терпит разрывы второго рода.

Также , являются вертикальными асимптотами или упростив

Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)

Функция пересекается с осью абсцисс в точках .

Определим точки пересечения функции с осью ординат (Оy)

Функция пересекается с осью ординат в точке

Определим промежутки знакопостоянства.

Так как функция периодичная рассмотрим участок графика

Определим знак функции на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция на рассмотренном промежутке расположена ниже оси абсцисс при

Функция расположена ниже оси абсцисс при

Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции

Определим знак производной на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция возрастает при

и убывает при

Точки являются точками максимума функции.

В этих точках функция принимает значение:

Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции

Определим знак второй производной на промежутке:

При :

Таким образом функция выпуклая вверх при

Точек перегиба функции нет.

Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика. Данные приведены для одного периода.

Таблица 2.8.

		Вертикальная асимптота		Пересечение с осями Ох и Оу. Точка максимума		Вертикальная асимптота
	Не входит в область определения						Не входит в область определения

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, тогда:

Область определения

Проверим функцию на четность/нечетность

Заданная функция является нечетной функцией, так как выполняются условие нечетности:

Функция не является периодичной

Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот

Найдем предел слева для

Найдем предел справа для

Таким образом в точке функция терпит разрыв второго рода; также является вертикальной асимптотой.

Проверим наличие горизонтальных асимптот при и

Так как оба предела не являются конечными, то при и горизонтальных асимптот не существует.

Проверим наличие наклонных асимптот при , где уравнение асимптоты имеет вид

Функция имеет наклонную асимптоту при .

Проверим наличие наклонных асимптот при , где уравнение асимптоты имеет вид

Функция имеет наклонную асимптоту при .

Таким образом заданная функция имеет одну вертикальную асимптоту и в точке функция терпит разрыв второго рода (при этом слева стремится к , а справа к ).

При и функция имеет наклонную асимптоту .

Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)

Функция пересекается с осью абсцисс в точках и .

Определим точки пересечения функции с осью ординат (Оy)

Так как в точке функция терпит разрыв второго рода, то функция не имеет точек пересечения с осью ординат.

Определим промежутки знакопостоянства.

Для этого определим знак функции на каждом из четырех промежутков:

При :

при :

при :

при :

Функция расположена выше оси абсцисс при и ниже при .

Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции

Определим знак производной на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция возрастает при . Точек максимума и минимума нет.

Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции

Определим знак второй производной на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при . Точек перегиба функции нет.

Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.

Таблица 2.9.

						1
	-	0	+		-	0	+
		Точка минимума		Вертикальная асимптота		Пересечение с осью Ох
	Наклонная асимптота						Наклонная асимптота

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, тогда:

Область определения

Проверим функцию на четность/нечетность

Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:

и

Функция не является периодичной

Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот

Найдем предел слева для

Найдем предел справа для

Таким образом в точке функция терпит разрыв второго рода; также является вертикальной асимптотой.

Проверим наличие горизонтальных асимптот при и

Функция имеет горизонтальную асимптоту при . При горизонтальной асимптоты нет.

Проверим наличие наклонной асимптоты при , где уравнение асимптоты имеет вид

Так как предел не конечен, то при наклонной асимптоты нет.

Таким образом заданная функция имеет одну вертикальную асимптоту и в точке функция терпит разрыв второго рода (при этом слева стремится к , а справа к ). При функция имеет горизонтальную асимптоту . При асимптот нет и функция стремится к .

Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)

Функция не пересекается с осью абсцисс.

Определим точки пересечения функции с осью ординат (Оy)

Так как в точке функция терпит разрыв второго рода, то функция не имеет точек пересечения с осью ординат.

Определим промежутки знакопостоянства.

Для этого определим знак функции на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция расположена выше оси абсцисс при

Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции

Определим знак производной на каждом из трех промежутков:

При :

при :

при :

Таким образом функция возрастает при и убывает при . Точка является точкой минимума функции. В этой точке функция принимает значение:

Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции

Определим знак второй производной на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция выпуклая вниз (вогнутая) при

Точек перегиба функции нет.

Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.

Таблица 2.10

				2
	+		+		+
		Вертикальная асимптота		Точка минимума
	Горизонтальная асимптота

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, тогда:

Область определения

Проверим функцию на четность/нечетность

Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:

и

Функция не является периодичной

Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот

Заданная функция не имеет точек разрыва.

Проверим наличие горизонтальных асимптот при и

Функция имеет горизонтальную асимптоту при . При горизонтальной асимптоты нет.

Проверим наличие наклонной асимптоты при , где уравнение асимптоты имеет вид

Так как предел не конечен, то при наклонной асимптоты нет.

Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)

Функция пересекается с осью абсцисс в точке .

Определим точки пересечения функции с осью ординат (Оy)

Функция пересекается с осью ординат в точке .

Определим промежутки знакопостоянства.

Для этого определим знак функции на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция расположена ниже оси абсцисс при и выше при .

Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции

Определим знак производной на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция убывает при и возрастает при . Точка является точкой максимума функции. В этой точке функция принимает значение:

Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции

Определим знак второй производной на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при . Точка является точкой перегиба функции.

В этой точке функция принимает значение:

Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.

Таблица 2.11

				1		2
	-	0	+		+		+
		Пересечение с осями Ох и Оу		Точка максимума		Точка перегиба
							Горизонтальная асимптота

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, тогда:

Область определения

Проверим функцию на четность/нечетность

Заданная функция является функцией общего вида, так как не выполняются условия четности и нечетности:

и

Функция не является периодичной

Исследуем функцию на точки разрыва и наличие асимптот

Заданная функция не имеет точек разрыва.

Проверим наличие горизонтальных асимптот при и

Функция имеет горизонтальную асимптоту при . При горизонтальной асимптоты нет.

Проверим наличие наклонной асимптоты при , где уравнение асимптоты имеет вид

Так как предел не конечен, то при наклонной асимптоты нет.

Определим точки пересечения функции с осью абсцисс (Оx)

Функция пересекается с осью абсцисс в точке .

Определим точки пересечения функции с осью ординат (Оy)

Функция пересекается с осью ординат в точке .

Определим промежутки знакопостоянства.

Для этого определим знак функции на каждом из двух промежутков:

При :

при :

Таким образом функция расположена выше оси абсцисс при

Определим экстремумы функции и промежутки возрастания/убывания функции

Определим знак производной на каждом из трех промежутков:

При :

при :

при :

Таким образом функция убывает при и возрастает при .

Точка минимума функции: .

Точка максимума функции: .

В этих точках функция принимает значения:

Определим точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции

Определим знак второй производной на каждом из трех промежутков:

При :

при :

при :

Таким образом функция выпуклая вверх при и выпуклая вниз (вогнутая) при .

Точки и являются точками перегиба функции.

В этих точках функция принимает значения:

Сведем в таблицу необходимые для построения эскиза графика точки и промежутки и построим эскиз графика.

Таблица 2.12

						2
	+	0	+		+		+		+
		Пересечение с осями Ох и Оу. Точка максимума		Точка перегиба		Точка минимума		Точка перегиба
									Горизонтальная асимптота