Вступительный экзамен 2018 / Задание

sin z

dx

5)

dz

;

6)

;

z cos z

(x2

4)2

|z| 1

0

xsin 2x

2

dx

7)

dx ;

8)

;

x

2

9

cos x 2

0

0

dx

x cos x

9)

;

10)

dx .

(x

2

1)(x

2

x

2

1

9)

1)

Найти изображение функции f (t) t2e 3t .

2)

Найти изображение функции f (t) te 3t sin 2t .

3)

Найти изображение функции f (t) t ch 2t sh t .

t

4)

Найти изображение функции f (t) e x cos(t x) dx .

0

5)

Пусть

f (t) e

2t

sin 3t . Найти изображение функции

f (t) .

t

6)

Найти изображение функции f (t) x3e 3xdx .

0

7)

Пусть

f (t) 3,

t [0;1],

Найти изображение f (t) .

0,

t [0;1].

0,

t 0,

t [0;1],

t,

8)

Пусть

f (t) 1,

t [1;2],

. Найти изображение f (t) .

t 2.

0,

9) Пусть (t) 0,

t 0, Найти изображение функции

f (t) (t 1)e(t 1) (t 1) .

1,

t 0.

10)

Пусть (t) 0,

t 0, Найти изображение f (t) sin 2(t 2)et 2 (t 2) .

1,

t 0.

11)

Найти изображение функции f (t) t sin2 2t .

F ( p)

p2

2)

F ( p)

p 3

;

1)

;

p2 6 p 10

( p2 1)( p2 2)

11

p 2

p

3)

F ( p)

;

4)

F ( p)

;

2

4 p

5

2

9

p

p

dq

e 2 p

5) F ( p)

;

6)

F ( p)

;

q2 4

p 1

p

1

dq

7) F ( p) (e 2 p 3e p )

;

8)

F ( p)

;

p

q(q2

1)

p

1

1

9) F ( p)

;

10) F ( p)

;

p

k 1

(2 p)

k 1

k 0

k 0

t

x

x 2e ,

x(0) 0 , x (0) 1.

4) Решить операционным методом задачу Коши:

x 2cost ,

x

x(0) x (0) 0 .

5) Операционным методом найти решение системы уравнений

x y 0

y x 1,

удовлетворяющее начальным условиям x(0) 2 ,

y(0) 1.

x 2 y 2t

6) Операционным методом найти решение системы уравнений

1

y

x 1,

2

удовлетворяющее начальным условиям x(0) 2 ,

y(0) 1.

7) Операционным методом найти решение системы уравнений

x 2 y 0

удовлетворяющее начальным условиям x(0) 2

, y(0) 1.

2t

y x 3e

1,

Решения

§1.

3)

f ' x

1

(2 (tg x)5 ) 2/3 ( 5(tg x)4 )

1

5(tg x)4

.

cos2

3

x

33 (2 (tg x)5 )2 cos2 x

§2.

1)

y

x3 1

.

x

1. ОДЗ: x 0.

lim

f (x)

2.

x 0 0

x 0 – вертикальная асимптота.

lim

f (x)

x 0 0

k lim

f (x)

lim

x3

1

, т.е. наклонных и горизонтальных асимптот нет.

x

x2

x

x

x

3

1

2

x (x

3

1)

2x

3

1

3x

6.

y

;

x

x

2

x

2

1

1

1

3

3

1

3

2

3

y

2

,

т.е.

;

– точка минимума.

1

3 2

2

3

4

3 2

3 4

3

2

2x

3

2

x

2

(2x

3

1)2x

2x

4

2x

2(x

3

1)

7.

y '

1

6x

.

x

2

x

4

x

4

x

3

1

1

1

3

3

1

3

2

3

2

y

, т.е.

;

– точка минимума.

1

3

3

3

2

2

3 4

2

4

3

2

1

0

1

2) A 0

1

1 .

0

0

1

1. | A | 1 0 !A 1.

A 1

A

0

A

1

2.

A11

0

A21

1

A31

1

A12

0

A22

0

A32

1

13

23

33

1

0

1

3.

AT 0

1

1 .

0

1

0

A 1

1

1

0

1

4.

AT

0

1

1 .

| A |

0

0

1

1

0

1 1

0

1

1

0

0

AA 1 0

1

1 0

1

1

0

1

0 .

0

0

0

0

1 0

1

0

1

A 1 A E.

§4.

1) 2x1 4x2 2x4 16,

x

2x

3x 2.

1

3

4

A | B

2

1/ 2

1 2 0 1

4 0 2

16

8

1

0 2 3

2

1 0 2 3

2

1 2

0 1

8

1

1

2 0

1

8

2

1

0 2 3

2

.

0 2 2 4

6

1/ 2

0 0 1 2

3

0 1 1 2

3

Rg A Rg A | B 2; dim L 2 ФСР: e1, e2.

2 баз. переменные: x1, x2 , 2 своб. переменные: x3 , x 4 .

x1

2 2x3

3x4 ,

x

3 x

2x .

2

3

4

x1

2 2x3

3x4

2

2

3

x2

3 x3 2x4

3

1

2

xî .í . x

x

0

C1

1

C2

0

.

3

3

0

0

1

x4

x4

x÷.í .

e1

e2

Проверки: x÷.í . : 2 ( 2) 4 3 2 0 16;

1)

A(1;1;0), : 3x 4y z 1, A и . Так как , то n1 n2 , n1

{3; 4;1} –

нормальный вектор плоскости , который можно взять за нормальный вектор

к плоскости точка A , тогда уравнение плоскости :

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0,

т.е. 3(x 1) 4( y 1) 1(z 0) 0 , : 3x 4y z 1 0.

§6.

1)

(x 5)2 y2 3– окружность с центром в точке ( 5;0) и радиусом

3.

§8.

6)

sin2 x cos x dx sin2

x d (sin x)

sin3 x

C (метод подведения под знак диффе-

3

ренциала).

§9.

b

f (x) dx F (b) F (a)

a

e

dx

e

d (ln x)

1

e

1

1

1

1

4)

1

.

2 x ln

3

2

3

2

2

2

2

x

ln

x

2ln

x

2

2ln

2

2ln

e

2

ln

2

§10.

1)

y x; y 2x; y 3.

3/2

3

x

2

3/2

x

2

3

Sф игуры

(2x x)dx (3 x)dx

3x

0

3/2

2

0

2

3/2

9

9

9

9

9

9

2

1

.

8

2

2

8

4

4

§11.

1

1)

.

n 1

3n 4

1. Проверить необходимое условие сходимости: lim

1

0.

3n 4

n

1

1

n

1

2. По второй теореме сравнения

расходится; так как lim

, то

n 1

n

n

3n 4 1 3

§12.

1)

xy x,

y

dy

x( y 1)

|: y 1 0,

dx