Справочник для решения задач и выполнения практических занятий Предел

Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что

|y — A|<е, при | х —a|<δ

lim y= А при | х —a|→0

Основные теоремы о пределах Предел постоянной величины

limА=А.

Предел суммы (разности) конечного числа функций

lim [f(x)+φ(x)+ψ(x)]= lim f(x)+ lim φ(x)+ lim ψ(x) приx→а

Предел произведений конечного числа функций

lim [f(x) •φ(x) •ψ(x)]= lim f(x) • lim φ(x) • lim ψ(x) приx→а

Предел частного двух функций:

lim [f(x) /φ(x)]= lim f(x) / lim φ(x) при lim φ(x)≠0

Замечательные пределы:

lim(sinx/x)=1приx→0 , lim(1+1/x)^x=2,71828…(число е ) при x→∞

Производная. Применение производных для исследования функций

Производной функции f(x) называется предел отношения прира-щения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке х при стремлении Δх к нулю:

ý=lim Δy / lim Δx при lim Δx →0

Производные некоторых функций :

постоянной величины	у=С:	ý= 0;
степенной функции	у = хμ:	ý=μxμ-1
показательной функции в частности, если	у = аx: у = ех то	ý=axlna; ý= еx;
логарифмической функции натурального логарифма	y=logax у = lпх	ý=( logae)/x=1/(x lna) ý=1/x
тригонометрические функции:	y=sinx y=cos x y = tgx. y = ctgx.	y'=cosx; ý =— sin x; ý =1/cos2x ý =-1/sin2x
обратных тригонометрические функции:	y=arcsinx y=arccosx y=arctgx y=arcctgx	ý =1/(1-x2)1/2 ý =-1/(1-x2)1/2 ý =1/(1+x2) ý =-1/(1+x2)
Производная суммы (разности) функций	y = w±u:	y' = u'±v'
Производная произведения двух функций	y=uv	y' = u'v + v'u.
Производная частного двух функций	y=u/v:	y' =( u'v- v'u)/ v2
Производная сложной функции	y = f1(u), если y = f2(x),	у'x = у'ии'x

Условие возрастания функции y = f(x) на отрезке [а, b]

f'(x)>0

Условие убывания функции y=f(x) на отрезке [а, b]

f'(x)<0

Условие максимума функции y=f(x) при x= а

f'(a)=0 и f'' (a)<0

Если при х=а производные f'(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходи­мо исследовать f'(x) в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х) при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f'(x) меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» Если f'(x) не меняет знака при переходе через точку х = а, то в этой точке у функ­ции экстремума нет

Дифференциал функции. Применение

дифференциала в приближенных вычислениях

Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

Dx=Δx

Дифференциал функции y=f(x)

dy = у' Δх.

Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v

dy=du±dv.

Дифференциал произведения двух функций у=uv

dy = vdu-\-udv.

Дифференциал частного двух функций y=u/v

dy=(vdu-udv)/v²

Приращение функции

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx

где Δx: — приращение аргумента.

Приближенное вычисление значения функции:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) • Δx

Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Относительная погрешность результата измерения

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u