2.4.9 Независимость производственного процесса от масштаба.

Предположим, имеется одинаковых заводов, выпускающих один и тот же продукт. Пусть построили еще один такой завод и наняли для него требуемую рабочую силу. В результате и объем фондов по выпуску данного продукта, и численность занятых увеличится враз. Понятно, что и выпуск продукта увеличится во столько же раз.

Приведенный пример наводит на мысль о справедливости следующего утверждения: если и фонды, и рабочая сила изменится в одно и то же число раз, то при прежней технологии (!) выпуск изменится во столько же раз. Это свойство производственного процесса называется независимостью от масштаба изменения в раз факторов можно рассматривать просто как изменение масштаба (единицы измерения).

Сформулированное свойство иногда вызывает возражения. Если необходимо сделать 2-3 уникальные детали, то их можно сделать вручную. Но если понадобятся тысячи, то проще и дешевле, построив специальный завод, выпускать их на конвейере. При этом выпуск увеличится в большее число раз, чем затраты производства. Этот пример, однако, не совсем корректен, ибо построение завода в данном случае означает изменение технологии. Статистика, как правило, подтверждает предположение независимости от масштаба. Будем считать это предположение выполненным.

(7)

Это означает, что производственная функция является однородной первой степени (линейно однородной). Заметим, что функция Кобба-Дугласа и функция с постоянной эластичностью замены этим свойством обладают.

Свойство независимости от масштаба позволяет вместо использовать их отношение- количество фондов, приходящееся на единицу рабочей силы, называемое фондовооруженностью. Полагая в (7), получаем:

(8)

Обозначим . В силу (8)

(9)

- выпуск продукта на единицу рабочей силы

То есть, средняя производительность труда

(10)

Таким образом, функция характеризует зависимость производительности труда от фондовооруженности.

Из свойств производной функции (см. 1.9) следует, что - возрастающая вогнутая функция (будем считать), в каждой точке,.

Для производной функции, описывающей экономическую систему в целом, естественным выглядит предположение , то есть без фондов или рабочей силы выпуск продукта невозможен. Тогда.

(11)

Следовательно, при достаточно больших функциярастет медленнее, чем линейная.

Обычно также предполагают, что (12), т.е. при достаточно малыхфункциярастет быстрее, чем линейная. Это предположение является отражением того, что увеличение фондовооруженности при достаточно малых ее значениях приводит к значительному росту производительности. В дальнейшем будем считать, что (12) выполнено.

2.4.10 Модель Салоу.

Для математического исследования динамической модели, построенной в п.7, перейдем к относительным переменным:

,,,(13)

Производительность труда и фондовооруженностьбыли введены в предыдущем пункте. Величинаесть потребление на одного рабочего (удельное потребление). Если считать, что потреблениеполностью совпадает с общей массой заработной платы, то.представляет собой долю произведенного продукта, вкладываемого в расширение производства – норма (доля) накопления.

Для замыкания модели надо, в частности, задать закон . В п.4 мы выяснили, что при отсутствии войн, эпидемий, беженцев и других потрясений население с течением времени стабилизируется. Сделав такое допущение, можем считать, что численность населения изменяется с постоянным темпом, т.е. по экспоненциальному закону. То же самое можно сказать и о численности активного населения, так как оно составляет фиксированную долю от численности населения в трудоспособном возрасте.

Предположим, что экономика развивается в условиях полной занятости или с постоянным уровнем безработицы. Тогда и численность занятых будет изменяться с постоянным темпом роста. Под темпом роста непрерывной величины понимают(14). Если, то. Будем считать, что. В силу (6) уравнение (4) может быть записано в виде:

(15)

, и с учетом (14)

Используя (10), приходим к дифференциальному уравнению, описывающему модель Саллоу:

(16)

из (6) и (13) (17)

(18)

Если задана , то по решениюуравнения (18) можно легко найти макроэкономические переменные, описывающие поведение экономической системы. Действительно,

Вычислив по (10) и (17) , можно получить и остальные макроэкономические переменные: